Реляционная алгебра

Реляционная алгебра как теоретический язык запросов по сравнению с реляционным исчислением более наглядно описывает выполняемые над отношениями действия.

Примером языка запросов, основанного на реляционной алгебре, является ISBL (Information System Base Language — базовый язык информационных систем). Языки запросов, построенные на основе реляционной алгебры, в современных СУБД широкого распространения не получили. Однако знакомство с ней полезно для понимания сути реляционных операций, выражаемых другими используемыми языками.

Вариант реляционной алгебры, предложенный Коддом, включает в себя следующие основные операции: объединение, разность (вычитание), пересечение, декартово (прямое) произведение (или произведение), выборка (селекция, ограничение), проекция, деление и соединение. Упрощенное графическое представление этих операций приведено на рис. 3.8.

По справедливому замечанию Дейта, реляционная алгебра Кодда обладает несколькими недостатками. Во-первых, восемь перечисленных операций по охвату своих функций, с одной стороны, избыточны, так как минимально необходимый набор составляют пять операций: объединение, вычитание, произведение, проекция и выборка. Три другие операции (пересечение, соединение и деление) можно определить через пять минимально необходимых. Так, например, соединение — это проекция выборки произведения.

Во-вторых, этих восьми операций недостаточно для построения реальной СУБД на принципах реляционной алгебры. Требуются расширения, включающие операции: переименования атрибутов, образования новых вычисляемых атрибутов, вычисления итоговых функций, построения сложных алгебраических выражений, присвоения, сравнения и т. д.

Рассмотрим перечисленные операции более подробно, сначала — операции реляционной алгебры Кодда, а затем — дополнительные операции, введенные Дейтом.

Операции реляционной алгебры Кодда можно разделить на две группы: базовые теоретико-множественные и специальные реляционные. Первая группа операций включает в себя классические операции теории множеств: объединение, разность, пересечение и произведение. Вторая группа представляет собой развитие обычных теоретико-множественных операций в направлении к реальным задачам манипулирования данными, в ее состав входят следующие операции: проекция, селекция, деление и соединение.

Рис. 3.8. Основные операции реляционной алгебры

Операции реляционной алгебры могут выполняться над одним отношением (например, проекция) или над двумя отношениями (например, объединение). В первом случае операция называется унарной, а во втором — бинарной. При выполнении бинарной операции участвующие в операциях отношения должны быть совместимы по структуре.

Совместимость структур отношений означает совместимость имен атрибутов и типов соответствующих доменов. Частным случаем совместимости является идентичность (совпадение). Для устранения конфликтов имен атрибутов в исходных отношениях (когда совпадение имен недопустимо), а также для построения произвольных имен атрибутов результирующего отношения применяется операция переименования атрибутов. Структура результирующего отношения по определенным правилам наследует свойства структур исходных отношений. В большинстве рассматриваемых бинарных реляционных операций будем считать, что заголовки исходных отношений идентичны, так как в этом случае не возникает проблем с заголовком результирующего отношения (в общем случае, заголовки могут не совпадать, тогда нужно оговаривать правила формирования заголовка отношения-результата).

Объединением двух совместимых отношений R1 и R2 одинаковой размерности (Rl UNION R2) является отношение R, содержащее все элементы исходных отношений (с исключением повторений).

Пример 1. Объединение отношений.

Пусть отношение обозначает R1 множество поставщиков из Лондона, a отношение R2 — множество поставщиков, которые поставляют деталь Р1. Тогда отношение R обозначает поставщиков, находящихся в Лондоне, или поставщиков, выпускающих деталь Р1, либо тех и других.

R1

П#	Имя	Статус	Город_П
S1	Сергей		Москва
S4	Николай		Москва

R2

П#	Имя	Статус	Город_П
S1	Сергей		Москва
S2	Иван		Киев

R (Rl UNION R2)

П#	Имя	Статус	Город_П
S1	Сергей		Москва
S2	Иван		Киев
S4	Николай		Москва

Вычитание совместимых отношений R1 и R2 одинаковой размерности (R1 MINUS R2) есть отношение, тело которого состоит из множества кортежей, принадлежащих R1, но не принадлежащих отношению R2. Для тех же отношений R1 и R2 из предыдущего примера отношение R будет представлять собой множество поставщиков, находящихся в Лондоне, но не выпускающих деталь Р1, то есть R={(S4, Николай, 20, Москва)}.

Заметим, что результат операции вычитания зависит от порядка следования операндов, то есть Rl MINUS R2 и R2 MINUS R1 — не одно и то же.

Пересечение двух совместимых отношений R1 и R2 одинаковой размерности (Rl INTERSECT R2) порождает отношение R с телом, включающим в себя кортежи, одновременно принадлежащие обоим исходным отношениям. Для отношений R1 и R2 результирующее отношение R будет означать всех производителей из Лондона, выпускающих деталь Р1. Тело отношения R состоит из единственного элемента (S1, Сергей, 20, Москва).

Произведение отношения R1 степени к1 и отношения R2 степени к2 (Rl TIMES R2), которые не имеют одинаковых имен атрибутов, есть такое отношение R степени (к1+к2), заголовок которого представляет сцепление заголовков отношений R1 и R2, а тело имеет кортежи такие, что первые к1 элементов кортежей принадлежат множеству R1, а последние к2 элементов — множеству R2. При необходимости получить произведение двух отношений, имеющих одинаковые имена одного или нескольких атрибутов, применяется операция переименования RENAME, рассматриваемая далее.

Пример 2. Произведение отношений.

Пусть отношение R1 представляет собой множество номеров всех текущих поставщиков {S1, S2, S3, S4, S5}, а отношение R2 — множество номеров всех текущих деталей {Р1, Р2, РЗ, Р4, Р5, Р6}. Результатом операции Rl TIMES R2 является множество всех пар типа «поставщик — деталь», то есть {(S1,P1), (S1,P2), (S1,P3), (S1,P4), (S1,P5), (S1,P6), (S2,P1),..., (S5,P6)}.

Заметим, что в теории множеств результатом операции прямого произведения является множество, каждый элемент которого является парой элементов, первый из которых принадлежит R1, а второй — принадлежит R2. Поэтому кортежами декартова произведения бинарных отношений будут кортежи вида: ((а, б), (в, г)), где кортеж (а, б) принадлежит отношению R1, а кортеж (в, г) — принадлежит отношению R2. В реляционной алгебре применяется расширенный вариант прямого произведения, при котором элементы кортежей двух исходных отношений сливаются, что при записи кортежей результирующего отношения означает удаление лишних скобок, то есть (а, б, в, г).

Выборка (R WHERE f) отношения R по формуле f представляет собой новое отношение с таким же заголовком и телом, состоящим из таких кортежей отношения R, которые удовлетворяют истинности логического выражения, заданного формулой f. Для записи формулы используются операнды — имена атрибутов (или номера столбцов), константы, логические операции (AND — И, OR — ИЛИ, NOT — HE), операции сравнения и скобки.

Примеры 3.

Выборки. Р WHERE Вес < 14

Д#	Название	Тип	Вес	Город_Д
Р1	гайка	каленый		Москва
Р5	палец	твердый		Киев

SP WHERE П# = "S1" AND Д# = "Р1"

П#	Д#	Количество
S1	Р1

Проекция отношения А на атрибуты X, Y,..., Z (А [X, Y,..., Z]), где множество {X, Y,..., Z} является подмножеством полного списка атрибутов заголовка отношения А, представляет собой отношение с заголовком X, Y,..., Z и телом, содержащим кортежи отношения А, за исключением повторяющихся кортежей. Повторение одинаковых атрибутов в списке X, Y,..., Z запрещается.

Операция проекции допускает следующие дополнительные варианты записи:

- отсутствие списка атрибутов подразумевает указание всех атрибутов (операция тождественной проекции);

- выражение вида R[] означает пустую проекцию, результатом которой является пустое множество;

- операция проекции может применяться к произвольному отношению, в том числе и к результату выборки.

Примеры 4. Проекции.

Р [Тип, Город_Д]

Тип	Город_Д
каленый	Москва
мягкий	Киев
твердый	Ростов
твердый	Киев

(S WHERE Город_П="Киев") [П#]

П#	Город_П
S2	Киев
S3	Киев

Результатом деления отношения R1 с атрибутами А и В на отношение R2 с атрибутом В (Rl DIVIDEBY R2), где А и В простые или составные атрибуты, причем атрибут В — общий атрибут, определенный на одном и том же домене (множестве доменов составного атрибута), является отношение R с заголовком А и телом, состоящим из кортежей г таких, что в отношении R1 имеются кортежи (г, s), причем множество значений s включает множество значений атрибута В отношения R2.

Пример 5. Деление отношения.

Пусть R1 — проекция SP [П#, Д#], a R2 — отношение с заголовком Д# и телом {Р2, Р4}, тогда результатом деления R1 на R2 будет отношение R с заголовком П# и телом {S1,S4}.

Соединение C_f(Rl, R2) отношений R1 и R2 по условию, заданному формулой f, представляет собой отношение R, которое можно получить путем Декартова произведения отношений R1 и R2 с последующим применением к результату операции выборки по формуле f. Правила записи формулы f такие же, как и для операции селекции.

Другими словами, соединением отношения R1 по атрибуту А с отношением R2 по атрибуту В (отношения не имеют общих имен атрибутов) является результат выполнения операции вида:

(Rl TIMES R2) WHERE A Q В, где Q — логическое выражение над атрибутами, определенными на одном (нескольких — для составного атрибута) домене. Соединение C_f(Rl, R2), где формула i имеет произвольный вид (в отличие от частных случаев, рассматриваемых далее), называют также Q- соединением.

Важными с практической точки зрения частными случаями соединения являются эквисоединение и естественное соединение.

Операция эквисоединения характеризуется тем, что формула задает равенство операндов. Приведенный выше пример демонстрирует частный случай операции эквисоединения по одному столбцу. Иногда эквисоединение двух отношений выполняется по таким столбцам, атрибуты которых в обоих отношениях имеют соответственно одинаковые имена и домены. В этом случае говорят об эквисоединении по общему атрибуту.

Операция естественного соединения (операция JOIN) применяется к двум отношениям, имеющим общий атрибут (простой или составной). Этот атрибут в отношениях имеет одно и то же имя (совокупность имен) и определен на одном и том же домене (доменах).

Результатом операции естественного соединения является отношение R, которое представляет собой проекцию эквисоединения отношений R1 и R2 по общему атрибуту на объединенную совокупность атрибутов обоих отношений.

Пример 6. Q-соединение.

Необходимо найти соединение отношений S и Р по атрибутам Город_П и Город__Д соответственно, причем кортежи результирующего отношения должны удовлетворять отношению «больше» (в смысле лексикографического порядка— по алфавиту).

(S TIMES P) WHERE Город_П > Городе

Пример 7. Эквисоединение.

П#	Имя	Статус	Город_П	Д#	Название	Тип	Вес	Город_Д
S2	Иван		Киев	Р1	гайка	каленый		Москва
S2	Иван		Киев	Р4	винт	каленый		Москва
S2	Иван		Киев	Р6	шпилька	каленый		Москва
S3	Борис		Киев	Р1	гайка	каленый		Москва
S3	Борис		Киев	Р4	винт	каленый		Москва
S3	Борис		Киев	Р6	шпилька	каленый		Москва

Пусть необходимо найти естественное соединение отношений S и Р по об­щему атрибуту, характеризующему город (в отношении S — это Город_П, а в отношении Р — Город_Д). Поскольку условие операции требует одинаковос­ти имен атрибутов, по которым выполняется соединение, то применяется опе­рация RENAME переименования атрибутов.

(S RENAME Город_П AS Город) JOIN (P RENAME Город_Д AS Город)

П#	Имя	Статус	Город	Д#	Название	Тип	Вес
S1	Сергей		Москва	Р1	гайка	каленый
S1	Сергей		Москва	Р4	винт	каленый
S1	Сергей		Москва	Р.6	шпилька	каленый
S2	Иван		Киев	Р2	болт	мягкий
S2	Иван		Киев	Р5	палец	твердый
S3	Борис		Киев	Р2	болт	мягкий
S3	Борис		Киев	Р5	палец	твердый
S4	Николай		Москва	Р1	гайка	каленый
S4	Николай		Москва	Р4	винт	каленый
S4	Николай		Москва	Р6	шпилька	каленый

Дополнительные операции реляционной алгебры, предложенные Дейтом, включают следующие операции.

Операция переименования позволяет изменить имя атрибута отношения и имеет вид:

RENAME <исходное отношение> <старое имя атрибута> AS <новое имя атрибута>,

где <исходное отношение> задается именем отношения либо выражением реляционной алгебры. В последнем случае выражение заключают в круглые скобки.

Например, RENAME Город_П AS Город_размещения_Поставщика.

Дата добавления: 2014-01-14