Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Однородные системы. Решение системы предполагает, что мы должны найти функций , удовлетворяющих уравнениям

Заметим, что в системах мы будем рассматривать только дифференциальные уравнения первого порядка. В противном случае, если в системе появляется, например, производная , мы вводим новую функцию , обозначаем и добавляем еще одно уравнение системы: .

Для упрощения выкладок мы исследуем случай . Полученные результаты легко обобщаются на случай произвольного . Введенную выше линейную однородную систему можно свести к линейному однородному дифференциальному уравнению высокого порядка с постоянными коэффициентами. Покажем, как это делается для случая . Пусть нам нужно решить систему

Продифференцируем первое уравнение и выразим в полученной правой части через правую часть второго уравнения. Мы получим

. А теперь входящую в полученную правую часть функцию заменим ее выражением из первого уравнения исходной системы: . Мы получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами относительно функции :

.

Мы знаем, что решение этого уравнения представляет собой линейную комбинацию частных решений, которые строятся с помощью корней характеристического уравнения. Поэтому и решение заданной системы из двух уравнений с двумя неизвестными функциями, не приводя ее к решению линейного уравнения второго порядка, будем искать в виде линейной комбинации функций вида .

Попробуем найти решение системы из двух дифференциальных уравнений, не сводя ее к уравнению второго порядка, в виде . Подставим эти функции в систему и сократим оба уравнения на . Мы получим алгебраическую систему из двух уравнений

относительно неизвестных констант и . Как известно из курса алгебры, однородная линейная алгебраическая система имеет только нулевые решения, если главный определитель системы отличен от нуля. Следовательно, чтобы получить нетривиальные решения, мы должны приравнять определитель этой системы нулю. Таким образом, число должно быть корнем уравнения

,

называемого характеристическим уравнением системы

После того, как мы определим значения (два значения в соответствии с основной теоремой алгебры), связь между коэффициентами и определится, например, из соотношения . Очевидно, что при различных значениях числа мы получим различные соотношения между коэффициентами и . Получив два частных решения с произвольными коэффициентами, мы сложим их и получим общее решение.

П р и м е р. Решить систему

Решим характеристическое уравнение . Оно имеет два различных корня: . При мы имеем следующую связь между и : . При получим: . Обозначив через коэффициент при , а через – коэффициент при в выражении , мы получим общее решение: , .

Заметим, что не обязательно находить связь между и , а можно, получив общее решение для , найти общее решение для из первого уравнения системы. В данном случае, зная , можно найти .

Возникает вопрос: в каком виде брать решение, если характеристическое уравнение имеет либо кратные, либо комплексные корни? Руководствуясь тем, что решение системы равносильно решению линейного однородного уравнения второго порядка, возьмем частные решения в соответствующем виде. Так, в случае, когда мы получим единственный корень кратности два, функции, дающие решения системы примут вид , а в случае, когда корнями характеристического уравнения являются комплексные числа , решения системы примут вид . Естественно, что коэффициенты при частных решениях двух функций зависят друг от друга.

П р и м е р. Решить систему Характеристическим уравнением системы является уравнение . Корни характеристического уравнения: . Поэтому . Теперь из первого уравнения системы найдем .

П р и м е р. Решить систему Характеристическим уравнением этой системы будет . Корнем этого уравнения кратности два является число 3. Поэтому мы решение запишем в виде Используем первое уравнение системы для получения .

Неоднородные системы. В случае неоднородной системы в правой части каждого из уравнений системы появляется произвольная функция:

Очевидно, что для получения общего решения неоднородной системы достаточно найти частное решение неоднородной системы и сложить его с общим решением соответствующей однородной системы. Мы будем искать решение неоднородной системы методом вариации произвольной постоянной на примере системы из двух уравнений с двумя неизвестными функциями.

Пусть нам нужно решить систему

Общим решением соответствующей однородной системы являются функции , причем линейно выражаются через , . Заметим, что справедливы соотношения

Ищем решение неоднородной системы в виде

. Подставим эти функцию в неоднородную систему и воспользуемся предыдущей системой, тогда получим систему

в которой линейно выражены через , . Таким образом, мы получаем линейную систему относительно , . Восстановив функции , , с точностью до произвольных слагаемых, мы получим требуемое решение.

П р и м е р. Решить систему

Решим характеристическое уравнение для однородной системы: . Корнями этого уравнения являются числа . Поэтому за общее решение однородной системы можно взять функции

Теперь общее решение неоднородной системы возьмем в виде

. Для определения функций , , решим систему

Получим . В итоге получим общее решение неоднородной системы: .

Дата добавления: 2014-01-14