Представление чисел в формате с плавающей точкой

Представление чисел в формате с фиксированной точкой

Форматы данных и машинные коды чисел.

Числа в компьютерах в двоичных кодах представляются как с фиксированной точкой или запятой, так и с плавающей точкой или запятой. Представление чисел в формате с фиксированной точкой получило название естественной формы числа, представление с плавающей точкой – нормальной формы числа. Под те или иные форматы отводится заранее известное количество разрядов (бит) -16,32 и т.д. Эта же величина может быть выражена в байтах, с учетом того, что 1 байт=8 бит.

Для чисел в естественной форме положение точки жестко фиксируется:

• Для целых чисел точка располагается справа от младшего разряда:

0000000000000000₂ =0₁₀, 0111111111111111_{. 2}=32767.₁₀;

• Для правильных дробей – перед старшим разрядом:

0.000000000000000₂=0₁₀, 0.000000000000001₂=0.000 030 517 578₁₀;

• Для смешанных дробей – в определенном месте, отделяющем целую часть числа от дробной:

000000.0000000000₂=0.0₁₀, 000001.0000000001₂=1.000 976 563₁₀

Наиболее часто такая форма используется для целых чисел и целых чисел без знака. Количество разрядов может быть либо 16 (вид Н), либо 32 (вид F).

Во всех форматах знак числа помещается в старший разряд и кодируется как 0 – знак положительного числа, либо как 1 – знак отрицательного числа. Знак отделяется от самого числа воображаемой точкой (рис.)

Знак 2¹⁴ 2¹³ 2¹ 2⁰

							Аmin
Формат Н				…
							Аmax
				…

Знак 2³⁰ 2²⁹ 2¹ 2⁰

							Аmin
Формат F				…
							Аmax
				…

Рис. 1.3. Форматы чисел с фиксированной точкой.

Фиксированная точка позволяет задать число только в строго определенном диапазоне. В формате Н числа можно задавать

От 1111 1111 1111 1111₂ до 0111 1111 1111 1111₂,

т.е. от -32767₁₀ до 32767₁₀, или от (1 – 2¹⁵) до (2¹⁵-1).

В формате F числа могут находиться в интервале

От 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111₂

До 0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111₂,

т.е. от -7 F F F F F F F₁₆ до 7 F F F F F F F₁₆.

Естественно, что представление в шестнадцатиричной системе для формы F предпочтительнее двоичной.

Рассмотрим несколько примеров.

ЗАДАЧИ

1.3.1. Представить в форматах Н и F числа -127₁₀ и 127₁₀

127₁₀=1*2⁶+1*2⁵+1*2⁴+1*2³+1*2²+1*2¹+1*2⁰=0111 1111₂.

А₂^Н=0000 0000 0111 1111_2, А₂^F=0000 00 E F₁₆.

-127₁₀=- (1*2⁶+1*2⁵+1*2⁴+1*2³+1*2²+1*2¹+1*2⁰)= -0111 1111₂.

А₂^Н=1000 0000 0111 1111_2, А₂^F=8000 00 E F₁₆.

1.3.2. Определить, какие из следующих шестнадцатиричных чисел положительные, а какие отрицательные: 9754, 157, ADF, 7654AD и DFEA.

Знак числа определяется по первой цифре: если она меньше 8 (б1000), то число положительное, если значение от 8 до F, то отрицательное. Таким образом, получаем 9754<0, 157>0, ADF<0, 7654AD>0 и DFEA<0.

Для расширения диапазона рассматриваемых чисел по сравнению с естественной формой чисел используется формат с плавающей точкой или нормальная форма. Любое число в этом формате представляется, как А= ±m_aE^±Pа,

где m_a - мантисса числа А; Е – основание системы счисления; ±Р_а- порядок. Все эти величины – двоичные числа без знака. На рис. 2 приведен формат числа в нормальной форме. Старший разряд (нулевой) содержит знак мантиссы, первый разряд – знак порядка, 6 разрядов, со второго по седьмой, определяют значение порядка, а остальные – мантиссу. Нормальная форма может быть представлена коротким форматом Е (4 байта), длинным форматом D (8 байт) и повышенной точности (16 байт). Во всех этих формах представления первый байт остается постоянным, изменяется только область, отведенная под мантиссу.

Знак m_a Знак Р_а Порядок Мантисса

Знак ma

Знак Ра

Ра

ma

0 1 2 … 7 8 31

Рис. 2. Нормальная форма числа

При таком представлении чисел 0 может быть записан 64 разными способами, т.к. для этого подходят любые значения порядков 0*2⁰=0*2¹=…=0*2⁶³. А другие числа могут иметь много различных форм записи. Например, 1536₁₀=3*2⁹=6*2⁸=…=768*2¹.

Для однозначного представления чисел мантиссу нормализуют, т.е. накладывают ограничение 1/Е≤m<1.

Это ограничение означает, что мантисса представляет собой правильную дробь и содержит хотя бы одну значащую цифру после запятой, отличную от нуля. Нормализованным представлением нуля является такое представление, при котором во всех разрядах находятся нули.

При использовании нормальной формы для части компьютеров характерно смещение оси порядков в область положительных значений. В этом случае арифметические действия производятся над порядками, не имеющими знака. В нормальной форме под значение порядка отводится 7 разрядов, один из них знаковый. Таким образом, значение порядка может лежать в интервале 2⁶≤Р≤2⁶-1, т.е. от -64 до 63.

Сместив порядок на 2⁶=64=40₁₆, мы получаем интервал возможных значений 0≤Р≤2⁷-1=127. Смещенный порядок на 40₁₆ называется характеристикой и вычисляется как Рx=P+40.

Если характеристика равна 40, то порядок равен 0; если характеристика меньше 40, то порядок отрицателен; если больше – то положителен.

ЗАДАЧИ

1.3.3. Представить в нормальной сетке Е числа 32001,5₁₀ и -32001,5₁₀

Представим числа в шестнадцатиричном коде 32001,5₁₀=7D01,8₁₆ и

- 32001,5₁₀. =-7D01,8₁₆

Затем найдем нормализованные мантиссы и характеристики.

m=7D01,8₁₆m=0,7D018,

при этом характеристика становится равной Рx=40+4=44

Знак mРx m

100 0100

0111 1101 0000 0001 1000 0000

447 D0180>0

m=-7D01,816m=-0,7D018,

при этом характеристика становится равной Рx=40+4=44

Знак mРx m

100 0100

0111 1101 0000 0001 1000 0000

С47 D0180>0

Дата добавления: 2014-01-14