![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Доказательство
Y
X
Пусть Матрица О составлена из координат векторов нового ортонормированного базиса, и поэтому является ортогональной. По теореме 4, матрицей оператора А в новом базисе будет матрица B = Ot∙A∙(Ot)-1 = Ot∙A∙O, так как для ортогональных матриц имеет место равенство Оt = O-1. Проверим, что B также будет симметрической. Действительно, (Ot∙A∙O)t = Ot∙A∙O, по лемме о транспонировании произведения матриц. Пусть
В новом базисе базисные векторы имеют координаты:
Так как, по теореме 3, Тогда b21 = 0, b31 = 0, так как матрица В симметрична. Тогда матрица В имеет вид: Следствие 1. Если А – линейный оператор в R3 с симметрической матрицей А, то в ортонормиро-ванном базисе, составленном из собственных векторов матрицы А, матрица оператора А имеет диагональный вид:
Следствие 2. Для любой симметрической матрицы А размера 3 х 3 найдётся ортогональная матрица О такая, что Оt∙A∙O = D, где D = Примеры. 1. Построить ортонормированный базис из собственных векторов матрицы Ответ: 9, 2. Применяя MATHCAD, построить ортонормированный базис из собственных векторов матрицы 3. Механическая задача. Тело, закреплённое центром масс к началу координат, сначала повернули на 30о вокруг оси Х, затем на 45о вокруг оси Y. Определить направление оси, вокруг которой тело повернулось в итоге и на какой угол. Z
Y
X
Решение и ответ см. далее.
Дата добавления: 2014-01-14; Просмотров: 225; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |