Теорема Ферма

Теорема 9.1. Если функция определена в окрестности точки с, дифференцируема в этой точке и в пределах значение является наименьшим (наибольшим), то .

Доказательство. Ограничимся случаем наименьшего значения (для наибольшего значения рассуждения аналогичные). По определению наименьшего значения

.

Отсюда

, (9.1)

для всех , удовлетворяющих условию , и

, (9.2)

для всех , удовлетворяющих условию . В силу дифференцируемости функции в точке с существует предельное значение

. (9.3)

Если функция имеет производную в точке с, то в этой точке она имеет левую и правую производные, равные , т.е. существуют предельные значения

, .

Отсюда в силу (9.1) и (9.2) по свойству предела

, . (9.4)

Из (9.4) непосредственно следует, что .

Дата добавления: 2014-01-14