Замена переменной в определённом интеграле

Пусть надо вычислить , где f (x) – некоторая непрерывная функция.

Часто для нахождения первообразной приходится вводить новую переменную . При этом пользуются следующим правилом:

Теорема. Пусть выполнены следующие условия:

1. Функция f (x) непрерывна на отрезке .

2. Функции и непрерывны в промежутке и при и .

3. Сложная функция непрерывна на . Тогда

(13)

Пояснения.

1. Условия (1) и (2) обеспечивают непрерывность подынтегральных функций в левой и правой частях формулы (13). Монотонность требуется для существования обратной функции.

Рис. 18.

2. Условие (3) устанавливает соответствие между пределами интегрирования до и после замены переменной по формуле .

Замечание. При вычисление неопределённого интеграла с помощью замены переменной в найденной первообразной приходилось возвращаться к старой переменной х. Если в определённом интеграле наряду с переменной интегрирования заменить и пределы, то надобность возвращения к исходной переменной отпадает.

Пример.

Дата добавления: 2014-01-14