Связь между коэффициентами степенного ряда и его суммой

Итак, пусть . Положим , тогда получим: .

Возьмем производную от членов ряда и его суммы: и положим . Тогда . Продолжая процесс дифференцирования, получим: .

То есть, . Таким образом, коэффициенты степенного ряда являются коэффициентами формулы Тейлора для суммы ряда.

Поставим вопросы: если для произвольной функции , имеющей бесконечное число производных в точке построить ряд , называемый рядом Тейлора функции , то 1) где он будет сходиться, и

2) если будет сходиться, то будет ли сходиться к самой функции?

Ответы на поставленные вопросы.

1) Так как ряд Тейлора – это степенной ряд, то для него обычным образом можно находить радиус и интервал сходимости. То есть, .

2) Так как частная сумма ряда Тейлора – это полином из формулы Тейлора , то разность между частной суммой и функцией согласно формуле Тейлора есть остаточный член формулы Тейлора. Мы его

рассматривали в форме Лагранжа: . Таким образом, если внутри интервала сходимости остаточный член формулы

Тейлора стремится к нулю с ростом , то сумма ряда Тейлора совпадает с

исходной функцией, по которой построен ряд. И тогда говорят, что

функция представима в виде ряда Тейлора, то есть

.

Дата добавления: 2014-01-14