Понятие о математических моделях (ММ) на макроуровне

Математическое моделирование систем с распределенными параметрами дает очень хорошие практические результаты, однако оно имеет ряд ограничений:

1. МКЭ в своей стандартной постановке предполагает исключение движения исследуемого объекта, как жесткого целого, в то время как целый ряд проектных процедур предполагает выяснение траекторий движения механизмов и динамических нагрузок, возникающих в них вследствие этих движений.

2. Для ряда проектных задач, особенно на ранних стадиях проектирования, когда еще не ясна форма проектируемых объектов, а имеется в наличии лишь функциональные и кинематические схемы, практически невозможно поставить задачу микроуровня, поскольку имеем недостаток сведений о параметрах элементов.

3. Наконец существует целый ряд задач, для которых совсем не нужна столь сложная постановка задачи, требующая больших вычислительных ресурсов. Очень часто вполне достаточной оказывается точность, характерная для моделей с сосредоточенными параметрами.

Макроуровень использует представление о среде как о дискретном пространстве. В частности, для механических систем инерционные параметры считаются сосредоточенными в определенных точках (или сечениях) системы, которые связаны между собой упруго-диссипативными или геометрическими связями.

Простейшим примером упруго-диссипативных связей в механической системе являются пружины сжатия, растяжения или кручения между материальными объектами, которые ограничивают их движение. При деформациях пружины либо накапливают, либо отдают энергию связанным с ней массам. Под геометрическими связями, в частности, понимают соединение объектов тягами или рычагами, которые не меняют своих линейных размеров и свойств при движении элементов механической системы.

На макроуровне в технической системе выделяются достаточно крупные элементы, которые в дальнейшем рассматриваются как неделимые единицы. Считают, что между элементами системы распределяются энергетические потоки двух типов(условно потенциальная и кинетическая энергия), которые определяются двумя типами фазовых переменных, а именно:

· фазовые переменные типа потенциала;

· фазовые переменные типа потока.

В разных физических системах фазовые переменные типа потенциала и потока классифицируются согласно данных таблицы:

Тип физической подсистемы	Фазовая переменная типа потенциала	Фазовая переменная типа потока
Электрическая	потенциал j	ток I
Механическая поступательная	скорость v	сила F
Механическая вращательная	угловая скорость w	крутящий момент M
Гидравлическая (пневматическая)	давление p	массовый расход G или объемный расход Q
Тепловая	температура T	тепловой поток Ф

Сравнение фазовых переменных для различных систем материальных элементов показывает, что фазовые переменные типа потенциала характеризуют энергию элемента системы, а фазовые переменные типа потока характеризуют энергию взаимодействие между этими элементами.

Поскольку сложные технические объекты состоят из объектов различной физической природы (т.е. являются гетерогенными), для формализации составления математических моделей таких объектов целесообразно применять инвариантные методы - т.е. методы моделирования, независящие от физической природы объекта моделирования (используюя вышеуказанные фазовые переменные потенциала и потока в общем виде) и базирующиеся на общих для однородных объектов (подсистем) физических законах.

Инвариантный метод, или метод прямой аналогии, основывается на следующих положениях:

1. Моделируемая техническая система рассматривается как совокупность подсистем, причем процессы, происходящие в каждой из подсистем должны быть физически однородны (механические, гидравлические, тепловые, электрические).

2. Состояние каждой из подсистем описывается фазовыми переменными типа потенциала и типа потока.

3. Структура каждой подсистемы рассматривается как совокупность элементов и связей между ними.

4. Свойства каждого элемента описываются его математической моделью, связывающей фазовые переменные типа потенциала U с фазовыми переменными типа потока I. Эти уравнения называются компонентными. I=I(U,t)

5. Связь между элементами в рамках одной подсистемы выражается в виде т.н. топологических уравнений. Эти уравнения связывают однотипные фазовые переменные различных элементов - т.е. фазовые переменные типа потенциала с фазовыми переменными типа потенциала и (или) фазовые переменные типа потока с фазовыми переменными типа потока. Топологические уравнения обычно выражают условия равновесия или непрерывности для различных подсистем.

6. Взаимосвязь между подсистемами осуществляется с помощью специальных элементов, компонентные уравнения которых используют фазовые переменные связываемых физических подсистем.

7. Математическая модель системы есть объединение компонентных и топологических уравнений.

Элементы бывают простые и сложные. Простые элементы отличаются тем, что их ММ зависит не более, чем от двух фазовых элементов типа потенциала. Такими простейшими элементами, из которых можно создать модель любого уровня сложности являются элементы типа R, L, C, I, E, или иными словами элементы типа сопротивление, индуктивность, емкость, источник тока, источник потенциала. Аналогии мы будем рассматривать по отношению к электрической подсистеме, но это не принципиально.

Доказано, что выделив в физических подсистемах такие фазовые переменные, как на представленной выше таблице, получим компонентные и топологические уравнения для простейших элементов в системах различной природы одинаковыми по форме - т.е. аналогичными. Именно это и позволяет формализовать составление ММ систем независимо от их физической природы.

Дата добавления: 2014-01-14