Математическое описание центральных проекций

Для простоты будем считать, что при центральном проецировании проекционная плоскость перпендикулярна оси z и совпадает с плоскостью z=d, а при параллельном совпадает с плоскостью z=0. Проекции рассматриваются в системе координат наблюдателя, которая является левосторонней.

Каждую из проекций можно описать матрицей размером 4х4. Это позволяет объединить матрицу проецирования с матрицей преобразования, представив в результате две операции (преобразование и проецирование) в виде одной матрицы.

На рис. приведены три изображения левосторонней системы координат, в которых точка Р проецируется на проекционную плоскость, расположенную на расстоянии d от начала координат.

Рис.3. Центральная проекция

Для вычисления координат хр и ур проекции точки(x,y,z) напишем отношения, полученные из подобных треугольников (рис. 4.12):

.

Умножая обе стороны каждого соотношения на d, получим

Расстояние d является в данном случае масштабным множителем, римененным к координатам хр и ур. Фактором, приводящим к тому, что на центральной проекции более удаленные объекты выглядят мельче, чем ближние, является деление на z. Допустимы все значения, кроме z=0.

Эти преобразования можно представить в виде матрицы размером 4х4:

.

Умножая точку P[x y z 1] на матрицу Мцентр, получим общее выражение для точки в однородных координатах [X Y Z W]:

[X Y Z W] = P×Мцентр = [x y z 1]×,

или [X Y Z W] = [x y z ].

Теперь, поделив на для обратного перехода к трем измерениям, имеем

.

Для построения проекций необходимо определять расстояние между точкой наблюдений Е и экраном. Можно сказать, что выполняется соотношение:

Размер картинки/d=размер объекта/ρ, отсюда можно определить

d= ρ· Размер картинки/ размер объекта.

Это выражение применимо для горизонтальных и вертикальных размеров и служит, скорее, средством оценки подходящего значения d.

Дата добавления: 2014-01-14