Погрешности косвенных измерений

При косвенном измерении результаты, полученные прямыми измерениями, являются исходными данными для дальнейших вычислений. Погрешности прямых измерений обусловливают погрешность окончательного результата измерения.

Предположим, что косвенно измеряемая величина Y связана с величинами Х ₁; Х ₂... Х _n, измеряемыми непосредственно, некоторой функциональной зависимостью

Y = F (Х ₁; Х ₂... Х_n). (2.30)

Полагаем также, что систематические погрешности устранены или учтены ранее каким-либо способом. Результаты прямых измерений, содержащие случайные погрешности, сами являются случайными величинами. Поэтому величину, измеряемую косвенно, рассматриваем как функцию случайных величин. Проведя обработку ряда наблюдений для каждого аргумента Х_i, подставим средние значения результатов прямых измерений в функциональную зависимость (2.30). При этом среднее значение результата косвенного измерения можно записать таким образом:

.

Дальнейшую обработку результатов наблюдений можно проводить по-разному.

Наиболее распространенным является метод линеаризации, основанный на разложении функциональной зависимости в ряд Тейлора с ограничением ряда членами, содержащими только первые производные. Тогда среднеквадратическую погрешность результата косвенных измерений находят по формуле

, (2.31)

где r_ij – коэффициент корреляции, характеризующий степень линейной зависимости двух зависимых случайных величин Х_i; Х_j;

– так называемые частные погрешности.

Если погрешности измерения величин Х_i и Х_j независимы, то коэффициент корреляции равен нулю, и выражение (2.31) принимает вид

. (2.32)

Для косвенных измерений определение заверительного интервала при заданной вероятности выполняется следующим образом. Если закон распределения погрешностей прямых измерений нормальный, то закон распределения случайных погрешностей результата косвенных измерений также нормальный. Тогда доверительный интервал находят с помощью таблиц нормального распределения. При малых числах наблюдений результат косвенного измерения подчиняется распределению Стьюдента.

Доверительный интервал находят в виде:

. (2.33)

При определении погрешности косвенного измерения приходится суммировать погрешности, разные по значению. Поэтому необходимо знать,

какие погрешности могут быть отброшены ввиду их малости для суммирования.

Допустим, что хотим отбросить до суммирования К-ю погрешность измерения. Тогда критерий ничтожности погрешности находим из выражения

, (3.34)

где – К-я частная погрешность, равная

.

Для случая нескольких малых погрешностей

.

Можно воспользоваться критерием ничтожности погрешности до суммирования, т.е. вычисления . При этом погрешности могут быть отражены, если ,

,

где E max – максимальная частная погрешность.

При наличии систематических погрешностей в результатах прямо измеряемых величин X_i общую систематическую погрешность косвенного измерения выражают по формуле

.

Пример. Найти результат показателей погрешности и достоверности косвенного измерения модуля комплексного сопротивления

по данным прямых измерений со случайными погрешностями, распределенными по нормальному закону:

Ом; Ом;

Ом; Ом.

Запишем функциональную зависимость для средних значений указанных величин

,Ом

Среднеквадратическая погрешность косвенного измерения будет равна

,Ом

так как ;

.

Результат косвенного измерения можно представить таким образом:

Ом; Ом.

Если результат измерения желательно представить в виде интегральной записи, то поступают следующим образом.

Задаются вероятностью попадания в доверительный интеграл, например, равной 0,99. В этом случае по табл. 2.2 (нормированная функция Лапласа) находим для половинной вероятности Z = 2,58, т.е. доверительный интервал равен Ом.

Тогда окончательно можно записать

,Ом; от –0,8 до +0,8,Ом; Р = 0,99.

Все вышеизложенное справедливо для НЗР погрешностей прямых измерений.

Если погрешности прямых измерений имеют погрешности, отличающиеся от НЗР, то рассчитывается суммарный закон распределения. Для этой цели может быть использована свертка [1] и метод перебора вариантов [5].

Дата добавления: 2014-01-14