Теоретическое введение. ТЕОРИЯ: Одним из наиболее простых примеров движения является движение тела, падающего на наклонную плоскость

ТЕОРИЯ: Одним из наиболее простых примеров движения является движение тела, падающего на наклонную плоскость. Шарик, падая с некоторой высоты Н, ударяется о наклонную плоскость в точке О (рис 1), отскакивает от плоскости и движется по некоторой кривой. Затем он падает на наклонную плоскость в точке О' и снова отскакивает. Этот процесс повторяется несколько раз.

Рис. 1

Движение шарика вдоль наклонной плоскости описывается уравнением движения механики. Задача данной работы состоит в изучении этих законов движения.

В приведенном процессе движения шарика выделим две фазы:

1. Удар о наклонную плоскость.

2. Свободное движение под действием силы тяжести с начальной скоростью, направленной под углом к горизонту.

Рассмотрим первую фазу. Ударом называют внезапное изменение состояния движения тела, вследствие столкновения его с другим телом. Во время удара оба тела претерпевают изменения формы (деформацию). Сущность удара заключается в том, что кинетическая энергия относительного движения соударяющихся тел на короткое время преобразуется в энергию упругой деформации. Удар приводит к передаче и, вообще говоря, к перераспределению энергии между соударяющимися телами.

Наблюдения показывают, что скорость тела (в нашем случае шарика, ударяющегося о наклонную плоскость) после удара не достигает своей прежней численной величины. Это объясняется тем, что на практике мы не имеем дела с идеально упругими телами и идеально гладкими поверхностями.

Рассмотрим на примере удара шарика о неподвижную плоскую поверхность влияния двух вышеуказанных факторов на соотношение скоростей до и после удара.

Пусть шарик до соударения с плоскостью (рис 2) имеет скорость V, а после соударения V ^’. В идеальном случае нормальные составляющие скоростей до и после удара, как и их касательные составляющие, были бы равны, т.е. V^’_n=V_n и V^’_t=V_t. Это означало бы, что и сами скорости равны и угол падения равен углу отражения, т.е. V^’=V и a^’=a. В действительности же вследствие неидеальной упругости нормальная составляющая скорости шарика после удара меньше нормальной составляющей скорости до удара (V^’_n<V_n) и

Рис.2

вследствие неполной гладкости касательная составляющая скорости после удара меньше касательной составляющей скорости до удара (V^’_t<V_t).

По Ньютону, отношение численных величин нормальных составляющих скоростей шарика есть физическая константа, характеризующая природу соударяющихся тел и не зависящая от величины скорости и масс тел.

(1)

Эту константу называют коэффициентом восстановления.

Численное ее значение заключается между 0 и 1 (0 ≤ E ≤ 1).

Если для соударяющихся тел Е = 0, то такие тела называют абсолютно неупругими, а если Е = 1, то соударяющиеся тела называют абсолютно упругими.

Для характеристики изменения касательных составляющих скорости иногда вводят также особый коэффициент:

= (2)

так называемый коэффициент мгновенного трения. В случае, если мы имеем дело с достаточно гладкой поверхностью, например, полированная мраморная плита, то влияние трения значительно меньше, чем влияние упругости. Поэтому можно считать, что касательная составляющая скорости сохраняет свою абсолютную величину, т.е. V^’_t=V_t

Коэффициент восстановления Е можно определить экспериментально, измеряя высоту отскока шарика при падении его на горизонтальную плоскость. Скорость шарика в момент удара при падении с высоты Н находится по формуле V= . После удара он поднимается на некоторую высоту Н', меньшую Н. Соответствующую скорость V’ шарика после удара находим по формуле V^’= . Тогда:

(3)

Приведем значение Е для некоторых материалов:

алюминий об алюминий…………………..............................0,23

бронза об бронзу................................…………………………0,4

чугун об чугун..................................………………………….0,6

сталь об сталь.................................……………………………0,7

Перейдем к рассмотрению движения шарика вдоль наклонной плоскости. Пусть шарик падает на наклонную плоскость (рис.1) под действием силы тяжести с высоты Н. В момент соприкосновения с наклонной плоскостью он имеет скорость, которую можно определить по формуле V_o= . Проекции скорости на оси Х и У будут:

V_o =0; V_o =- (4)

Перейдем к системе координат (ξ, η), связанной с наклонной плоскостью. Перевод любого вектора из одной системы координат в другую, повернутую относительно первой на угол, осуществляется по формулам:

A_x =A_x·cosa - A_y·sina

A_h =A_x·sina+ A_y·cosa (5)

где A_x, A_y, A_x и А_h, соответственно, проекции вектора на координатные оси в системе координат (Х,У) и (x,h). В нашем случае угол a является углом наклона плоскости к горизонту.

Обратный переход в систему (Х,У) из системы (x,h) имеет вид:

A_x = A_x ·cosa + A_h ·sina

A_y = -A_x ·sina + A_h ·cosa (6)

_{_}

Тогда проекции вектора V₀, на оси x и h, будут:

V_o = ^. sina

V_xh=- ^. cosa (7)

После соударения с наклонной плоскостью шарик будет иметь скорость V₁ Проекции ее на оси x и h, очевидно, будут (поскольку удар неидеально упругий):

V_1x= ^.sina

V_1h=E ^.cosa^. (8)

а на оси Х и У:

V_1x= (sina ^.cosa + Esina ^.cosa)

V_2y= (-sin²a+Ecos²a^.) (9)

или после простых преобразований:

V_1x=(1+E) ^.sina ^.cosa

V_1y= (-sin²a + Ecos²a^.) (10)

После соударения с наклонной плоскостью шарик одновременно участвует в двух движениях: в движении с постоянной скоростью вдоль оси Х и в движении с ускорением свободного падения вдоль оси У, т.е. в общем виде уравнения движения имеют вид:

Х = V_x^.t

Y = V_y^.t - gt²/2 (11)

где g - ускорение свободного падения (g = 9,82 м/сек²)

От первого соударения до второго шарик проходит вдоль наклонной плоскости расстояние Z₁.

X = Z₁^.cosa

Y = Z₁^.sina (12)

Подставляя (12) в (11) и решая систему (11) относительно Z₁, получим:

(13)

Определим, на сколько переместился шарик вдоль наклонной плоскости от первого удара до второго. Для этого подставим формулу (10) в (13) и после тригонометрических преобразований получим:

Z₁ = 8H^.sina^.0,5^.E(E+1) (14)

множитель 0,5·Е(Е+1), обращающийся при Е=1 (идеально упругий удар) в единицу, показывает, как зависит расстояние, пролетаемое шариком вдоль наклонной плоскости, от свойств соударяющихся тел.

Аналогичным образом можно определить расстояние, пролетаемое шариком вдоль наклонной плоскости, от свойств соударяющихся тел от второго до третьего удара

Z₂ =16H^.sina^.E^2.(0,5^.(E+1))² (15)

Дата добавления: 2014-11-07