Формирование задержки с помощью таймера 1 страница

Графические конструкции иногда требуется рассматривать динамически в процессе их построения. Поэтому зачастую используется такая схема вывода графики:

1. Вывод графического элемента;

2. Задержка на n миллисекунд;

3. Повторение 1 и 2 этапа до вывода всех графических элементов.

Реализация задержки с помощью таймера возможна следующим способом:

// Глобальное поле flag

private bool flag = false;

...

// Далее следует часть программы,

// где необходимо организовать задержку

// Включаем таймер

timer1.Enabled = true;

// Устанавливаем flag в значение true

flag = true;

// Организуем бесконечный цикл

while (flag);

// Выключаем таймер после выхода из цикла

timer1.Enabled = false;

// Обработчик тика таймера

private void timer1_Tick_1(object sender,

EventArgs e)

{

// Сбрасываем flag в значение false

flag = false;

}

Идея данного подхода заключается в организации бесконечного цикла, который будет проверять значение некого флага. Однако значение флага может измениться при наступлении события Tick таймера, то есть через заданный в таймере промежуток времени. Однако бесконечный цикл, описанный выше, останется бесконечным и программа просто зависнет. В чем же дело? Дело в том, что при такой организации цикла программа не может опросить очередь сообщений, в которое и будет поступать, в том числе, и событие Tick от таймера. Тем самым мы не попадем никогда в обработчик события timer1_Tick_1. Что бы решить данную проблему надо в теле цикла написать Application.DoEvents(), что фактически будет заставлять приложение опрашивать очередь сообщений и в свою очередь приведет к срабатыванию обработчика события timer1_Tick_1.

Перед выполнением индивидуального задания по лабораторной работе, разработайте приложение строящее ряд увеличивающихся квадратов (рис. 15.2). Квадраты выводятся последовательно через одну секунду.

Индивидуальное задание

1. Напишите приложение, которое строит ряд окружностей. Центр окружностей совпадает с центром экрана. Число окружностей задается при первом вызове рекурсивного метода.

2. Напишите приложение, которое строит ряд квадратов. Центр квадратов совпадает с центром экрана. Число квадратов задается при первом вызове рекурсивного метода.

3. Напишите приложение, которое строит ряд окружностей по диагонали. Число окружностей задается при первом вызове рекурсивного метода.

4. Напишите приложение, которое строит ряд увеличивающихся окружностей по диагонали. Число окружностей задается при первом вызове рекурсивного метода.

5. Напишите приложение, которое строит ряд окружностей, центры которых лежат на окружности. Число окружностей задается при первом вызове рекурсивного метода.

6. Напишите приложение, которое строит ряд квадратов, центры которых лежат на окружности. Число квадратов задается при первом вызове рекурсивного метода.

7. Напишите приложение, которое строит ряд увеличивающихся окружностей, центры которых лежат на окружности. Число окружностей задается при первом вызове рекурсивного метода.

8. Напишите приложение, которое строит ряд увеличивающихся окружностей, центры которых лежат на спирали. Число окружностей задается при первом вызове рекурсивного метода.

9. Вычислить, используя рекурсию, выражение:

10. Напишите приложение, которое строит ряд окружностей. Число окружностей удваивается на каждом шаге (в рекурсивном методе происходит два рекурсивных вызова). Центры окружностей выбираются каждый раз произвольно (случайно). Линии связывают центры окружностей «предка» и «порожденных» от нее. Число рекурсий задается при первом вызове рекурсивного метода.

11. Напишите приложение, которое строит ряд увеличивающихся окружностей. Число окружностей удваивается на каждом шаге (в рекурсивном методе происходит два рекурсивных вызова). Центры окружностей выбираются каждый раз произвольно (случайно). Толщина линий также увеличивается. Число рекурсий задается при первом вызове рекурсивного метода.

12. Напишите приложение, которое строит ряд уменьшающихся окружностей. Число окружностей удваивается на каждом шаге (в рекурсивном методе происходит два рекурсивных вызова). Число рекурсий задается при первом вызове рекурсивного метода.

13. Напишите приложение, которое строит приведенное ниже изображение. Число рекурсий задается при первом вызове рекурсивного метода. На каждом шаге число окружностей увеличивается в четыре раза (в рекурсивном методе происходит четыре рекурсивных вызова).

14. Постройте ковер Серпинского.

Индивидуальные задания
повышенной сложности

Для решения геометрических задач повышенной сложности необходимо:

1) знать, как представляются на плоскости такие геометрические объекты, как точка, прямая, отрезок и окружность;

2) уметь находить уравнение прямой, соединяющей две заданные точки;

3) уметь определять координаты точки пересечения двух прямых;

4) знать, как провести перпендикуляр к прямой или определить, являются ли прямые параллельными;

5) уметь находить скалярное и векторное произведение;

6) находить площадь многоугольника;

7) уметь работать с фигурами на плоскости.

Напомним основные моменты, связанные с этими понятиями.

Каждую точку плоскости можно считать вектором с началом в точке (0,0). Обозначим через a =(x, y) вектор с координатами (x, y). Длина вектора (его модуль) вычисляется по формуле .

x

y

a

b

φ

y ₁

y ₂

x ₁

x ₂

Рис. 16.1. Иллюстрация к скалярному произведению векторов

Скалярное произведение двух векторов – это число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними, (a, b)=| a | ∙ | b | ∙ cos φ. Если вектор a имеет координаты (x ₁, y ₁),а вектор b координаты – (x ₂, y ₂), то скалярное произведение вычисляется по формуле (a, b)= x ₁ ∙ x ₂ + y ₁ ∙ y ₂.

Заметим, что если угол φ острый, то скалярное произведение (a, b)>0, если угол φ тупой, то (a, b)<0. Если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.

Векторным произведением двух векторов a и b называется вектор [ a × b ], такой, что

· длина его равна |[ a × b ]|=| a | ∙ | b | ∙ sin φ;

· вектор [ a × b ] перпендикулярен векторам a и b;

· вектор [ a × b ] направлен так, что из его конца кратчайший поворот от a к b виден происходящим против часовой стрелки.

Длина векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b.

Через координаты векторов a и b векторное произведение выражается следующим образом:

[ a × b ]= = (y ₁ ∙ z ₂ – z ₁ ∙ y ₂) i + (x ₁ ∙ z ₂ – z ₁ ∙ x ₂) j + (x ₁ ∙ y ₂ – y ₁ ∙ x ₂) k,

где i, j, k – единичные вектора осей Ox, Oy, Oz соответственно.

x

y

a

b

α

β

Рис. 16.1. Иллюстрация к векторному произведению

При решении задач на плоскости координаты z ₁ и z ₂ равны нулю. В этом случае [ a × b ]=(x ₁ ∙ y ₂ – x ₂ ∙ y ₁ )∙ k.

Если вектор a образует с осью Ох угол α, а вектор b – угол β, то для скалярного произведения справедлива формула [ a × b ]=(| a | ∙ | b | ∙ sin(β-α))∙ k. Это означает, что для ненулевых векторов векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы параллельны. Если поворот от вектора а к вектору b по наименьшему углу выполняется против часовой стрелки, то [ a × b ]>0, если по часовой стрелке, то [ a × b ]<0.

Рассмотрим задачи, при решении которых используются скалярное и векторное произведения.

Задача 1 «Штраф за левые повороты» [1]. В городе Х водителям запрещено выполнять левые повороты. За каждый такой поворот водитель должен уплатить штраф в размере М рублей. Для слежки за водителями в городе установлена компьютерная система, фиксирующая координаты автомобиля в начале движения, в конце движения и во время поворота.

Исходные данные: N – количество зафиксированных координат автомобиля, (x_i, y_i) – координаты автомобиля в процессе движения, i =1,2, …, N, где (x ₁, y ₁) – точка начала движения, (x_N, y_N) – последняя точка маршрута автомобиля.

Требуется по заданной последовательности координат движения вычислить сумму штрафа водителя.

(x_{i -1,} y_{i -1})

(x_{i ,} y_i)

(x_{i+ 1,} y_{i+ 1})

Траекторию движения автомобиля можно представить в виде ломаной, состоящей из направленных отрезков из точек (x_i, y_i) в точки (x_i+1, y_i+1), i =1,2,…, N -1.Поворот считается левым, если направление текущего отрезка пути a_{i +1} меняется относительно предыдущего отрезка a_i в левую сторону, т.е. против часовой стрелки.

Таким образом, решение задачи сводится к вычислению количества пар участков пути a_i и a_{i +1}, для которых выполняется условие [ a_i × a_{i +1}]>0. Координаты векторов a_i и a_{i +1} вычисляются через координаты точек (x_i, y_i): a_i= (x_{i –} x_{i -1}, y_{i –} y_{i -1}), a_{i +1} = (x_{i +1 –} x_i, y_{i +1 –} y_i), следовательно,

[ a_i × a_{i +1}]= (x_{i –} x_{i -1}) (y_{i +1}- y_i) – (y_{i –} y_{i -1})(x_{i +1 –} x_i), i =2, …, N -1.

Задание 1. Реализуйте задачу «Штраф за левые повороты»

Задача 2 «Здесь будет город-сад». Жители одного дома города Х решили высадить у себя во дворе несколько деревьев. Так как жильцы не смогли договориться, как должны быть расположены посадки, то каждый посадил дерево в том месте двора, где ему захотелось. После проведения посадок полученный сад решили обнести забором. Но пока доски не привезли, деревья обвязали одной длинной веревкой.

Исходная информация: N – количество деревьев в саду, (x_i, y_i) – координаты деревьев, i =1,2, …, N. Так как были высажены молодые саженцы, то их толщиной можно пренебречь.

Требуется определить, к каким из посаженных деревьев надо привязать веревку так, чтобы все деревья оказались внутри обнесенной зоны, а длина веревки была минимальная.

Эта и подобные ей задачи сводятся к определению для заданного множества точек на плоскости выпуклой оболочки, то есть выпуклого многоугольника с вершинами в некоторых точках из заданного множества, охватывающего все его точки. В [2] приведено несколько вариантов решения такой задачи с учетом временных затрат на выполнение алгоритмов. Здесь мы рассмотрим способ, использующий свойства скалярного произведения векторов.

Будем строить выпуклую оболочку в порядке обхода участка по часовой стрелке. Найдем самую левую точку М₀=(x ₀, y ₀), x ₀ = min{ x_i }. Если таких точек несколько, то возьмем самую нижнюю из них. Эта точка наверняка принадлежит искомой выпуклой оболочке. Зададим первоначальный вектор a ₀ с началом в точке (x ₀, y ₀), параллельный оси Oy.

Следующей точкой оболочки будет такая точка М₁, чтобы вектор a ₁ с началом в точке М₀ и концом в точке М₁ образовывал с первоначальным вектором a ₀ минимальный угол. Если таких точек несколько, то выбирается точка, расстояние до которой максимально.

Далее процесс продолжаем, то есть ищем точку М₂ с минимальным углом между вектором a ₁ и вектором a ₂ с началом в точке М₁ и концом в точке М₂, затем точку М₃ и т.д. Процесс прекращаем, когда дойдем до первой выбранной точки или количество точек в оболочке станет равно N.

Для определения угла между векторами используется скалярное произведение. Причем сам угол можно не вычислять, так как минимальному углу соответствует максимальный косинус угла.

Задание 2. Реализуйте задачу «Здесь будет город-сад»

Задача 3 «Заяц» [3]. Недалеко от города Х находится зоосад. Здешний житель, заяц, хаотично прыгая, оставил след в виде замкнутой самопересекающейся ломаной, охватывающей территорию его владения. Найти площадь минимального по площади выпуклого многоугольника, описанного вокруг этой территории.

В данной задаче необходимо не только найти выпуклую оболочку множества точек, но и вычислить площадь выпуклого многоугольника с заданным набором вершин.

Исходные данные: N – количество вершин выпуклого многоугольника, (x_i, y_i) – координаты вершин, i =1,2, …, N.

Требуется определить площадь выпуклого N -угольника.

Площадь N -угольника может быть вычислена как сумма площадей треугольников, из которых N -угольник составлен. Для нахождения площади треугольника используем векторное произведение. Длина векторного произведения векторов, как известно, равна удвоенной площади треугольника, построенного на этих векторах. Пусть вершины треугольника расположены в точках A=(x ₁, y ₁), B=(x₂, y₂), C=(x₃, y₃). Совместим начало координат с первой точкой. Векторное произведение равно

[AB × AC]= ,

следовательно, площадь треугольника равна

S_ABC=1/2 ((x _{2 –} x ₁) (y ₃ – y ₂) – (y _{2 –} y ₁)(x _3– x ₂)).

Значение величины S_ABC может быть как положительным, так и отрицательным числом, так как оно зависит от взаимной ориентации векторов AB и AC, поэтому говорят, что площадь ориентированная.

А₁

А₂

А₃

А₄

А₅

Для нахождения площади N -угольника последний требуется разбить на треугольники и найти сумму ориентированных площадей этих треугольников. Разбиение N -угольника на треугольники можно провести так: зафиксировать одну из вершин N -угольника, например, первую A₁=(x ₁, y ₁) и рассматривать все треугольники A₁A _i A _{i +1}, i =2, 3,…, N -1.

Заметим, что аналогичным способом можно находить площадь произвольного многоугольника.

Использование свойства ориентации площади треугольника, вычисленной по векторному произведению, позволяет определить, является ли заданный многоугольник выпуклым. Для выпуклого многоугольника все треугольники, образованные тройками соседних вершин в порядке их обхода, имеют одну ориентацию. Поэтому проверка многоугольника на выпуклость может быть проведена с помощью последовательного сравнения знаков векторных произведений для всех пар соседних сторон многоугольника.

Задание 3. Реализуйте задачу «Заяц»

Задача 4 «Тигр в загоне». Недалеко от города Х находится заповедник, в котором обитают уссурийские тигры. Работники заповедника очень переживают, когда тигр покидает охраняемую зону. Программа охраны уссурийских тигров предусматривает снабжение каждого тигра ошейником с радиомаяком. Сигнал от тигриного радиомаяка поступает в центр охраны и позволяет определить местоположения тигра. Территория заповедника представляет собой произвольный многоугольник.

Исходные данные: N – количество вершин многоугольника, задающего заповедник, (x_i, y_i) – координаты его вершин, i =1,2, …, N. (X, Y) – координаты точки, в которой находится тигр.

Требуется определить, находится ли тигр на территории заповедника, или надо срочно снаряжать спасательную экспедицию.

P

Q

Очень часто при решении задач геометрического содержания требуется проверить, лежит ли заданная точка внутри или вне многоугольника. Таким способом можно решить, например, задачу о Бармаглоте, проверяя каждую точку Бармаглота относительно одеяла-многоугольника. Есть много способов проверки принадлежности точки многоугольнику, однако мы приведем здесь один из них, основанный на использовании произведения векторов.

Идея метода заключается в том, чтобы определить сумму углов, под которыми стороны многоугольника видны из проверяемой точки. Если точка лежит внутри многоугольника, то суммарный угол равен 2π (точка Р на рисунке), если же точка лежит вне многоугольника, то сумма углов не равна 2π (точка Q).

Таким образом, для решения надо перебрать в цикле последовательно все вершины многоугольника и найти сумму углов между векторами PA _i и PA _{i +1}, i =1,2, …, N. Не забудьте добавить угол между векторами PA _N и PA₁. Для определения величины угла между векторами нам потребуется формула скалярного произведения.

Так как стороны многоугольника должны рассматриваться последовательно, в порядке обхода вершин, то при нахождении суммарного угла следует учитывать взаимное расположение векторов. Угол, под которым сторона видна из исследуемой точки, может быть как положительным, так и отрицательным. Для определения знака угла воспользуемся векторным произведением. Знак векторного произведения и определит знак конкретного угла в общей сумме.

Задание 4. Реализуйте задачу «Тигр в загоне»

Задача 5 «Пересечение отрезков». Дано n отрезков. Реализовать программу, находящую все их пересечения между собой. Отобразить решение графически.

На плоскости заданы два отрезка a и b, a – точками A¹(A¹_x,A¹_y) и A²(A²_x,A²_y), а b – точками B¹(B¹_x,B¹_y) и B²(B²_x,B²_y). Найти и напечатать возможную точку их пересечения C(C_x,C_y). Рассмотрим первый отрезок a. Уравнение прямой, на которой он лежит можно записать так:

x_a = A¹_x + t_a (A²_x – A¹_x)

y_a = A¹_y + t_a (A²_y – A¹_y)

Здесь, A¹_x,A¹_y,A²_x,A²_y – константы, x_a,y_a – точки принадлежащие отрезку, при t_a изменяющемся от 0 до 1. Аналогично для отрезка b:

x_b = B¹_x + t_b (B²_x – B¹_x)

y_b = B¹_y + t_b (B²_y – B¹_y)

Таким образом, приравнивая соответствующие координаты, получаем задачу нахождения параметров t_a,t_b, при которых бы выполнялись равенства:

A¹_x + t_a (A²_x – A¹_x) = B¹_x + t_b (B²_x – B¹_x)

A¹_y + t_a (A²_y – A¹_y) = B¹_y + t_b (B²_y – B¹_y)

После разрешения системы относительно t_a,t_b получаем:

t_a (A¹_x – A²_x) + t_b (B²_x – B¹_x) = A¹_x – B¹_x

t_a (A¹_y – A²_y) + t_b (B²_y – B¹_y) = A¹_y – B¹_y

А это есть система из двух линейных уравнений относительно t_a,t_b.

Известно, что система:

a₁ x + b₁ y = c₁

a₂ x + b₂ y = c₂

имеет следующее решение:

x = d_x/d

y = d_y/d,

где d – определитель матрицы,

d = a₁b₂ – a₂b₁,

d_x = c₁b₂ – c₂b₁,

d_y = a₁c₂ – a₂c₁.

В нашей системе относительно t_a,t_b:

a₁ = A¹_x – A²_x

b₁ = B²_x – B¹_x

c₁ = A¹_x – B¹_x

a₂ = A¹_y – A²_y

b₂ = B²_y – B¹_y

c₂ = A¹_y – B¹_y

откуда легко находится d,d_x,d_y. Если d отличен от нуля, то система имеет единственное решение. Правда, следует помнить, что искомые t_a,t_b – параметрически задают отрезки только если они лежат в диапазоне [0,1], в противном случае точка пересечения прямых, на которых лежат отрезки, находится вне этих самых отрезков.

Если d равен нулю, а хотя бы один из d_x,d_y отличен от нуля, то отрезки лежат на параллельных прямых, или как говорят математики, они коллинеарны. Если же все три d,d_x,d_y равны нулю, то это значит, что отрезки лежат на одной и той же прямой, где опять возможны три случая – либо отрезки не перекрываются, либо перекрываются в одной точке, либо перекрываются в бесконечном множестве точек.

Решение ряда задач повышенной сложности опирается на методы рассмотренные в комбинаторике, а именно на возможность генерации: сочетаний, перестановок, размещений и перечислений элементов.

Одним из важных элементов комбинаторики являются перестановки. Перестановки без повторений – комбинаторные соединения, которые могут отличаться друг от друга лишь порядком входящих в них элементов. Число таких перестановок определяется как n!.

Для числа 3, количество перестановок будет равно 3! = 3 * 2 * 1 = 6. Для четырех: 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24.

Часто для генерации перестановок используется алгоритм Дейкстры для получения всех перестановок по алфавиту. Разберем этот алгоритм.

Пусть у нас есть первая перестановка (например, 1234). Для нахождения следующей перестановки выполняем три шага.

1. Двигаясь с предпоследнего элемента перестановки, ищем элемент a[i], удовлетворяющий неравенству a[i] < a[i + 1]. Для перестановки 1234, это число 3, т. к. (3 < 4).

2. Меняем местами элемент a[i] с наименьшим элементом, который:

а) находится праве a[i].

б) является больше чем a[i].

В нашем случае меняем 3 и 4.

3. Все элементы стоящие за a[i] сортируем. В нашем случае нужно отсортировать число 4, но это единственный элемент, следовательно так его и оставляем.

В результате выполнения этих трех шагов получаем следующую по алфавиту перестановку 1243.

Выполнять эти шаги нужно циклически до тех пор, пока в перестановке не будет находится искомый в первом шаге элемент a[i], т. е. пока перестановка не станет отсортированной по убыванию: 4321.

Перестановки с повторениями – комбинаторные соединения, в которых среди образующих элементов имеются одинаковые. В таких соединениях участвуют несколько типов объектов, причём имеется некоторое количество объектов каждого типа. Поэтому в выборках встречаются одинаковые элементы.

Задание 6. Гномики решили встречать гостей с разноцветными шарами. Раздай шарики гномикам так, чтобы цвет шарика не был такой же, как цвет колпачка, и чтобы у гномиков в одинаковых по цвету колпачках были шарики разного цвета и разной формы. Напишите программу, выводящую все возможные варианты раздачи шариков.

Задание 7. Имеются цифры от 1 до 9 расположенные по возрастанию (убыванию). Требуется расставить между ними произвольное количество знаков <<плюс>> и <<минус>>, чтобы получилось выражение со значением 100. Например

123+4-5+67-89 = 100

Дата добавления: 2014-11-07