Матрица переходов

При изучении процесса функционирования систем часто бывает удобно использовать понятия теории графов. Введем некоторые определения.

Графом [96] называется тройка (Е,D,Т), где Е и D — конечные множества, а T — отображение из множества D в декартово произведение Е×Е. Элементы множества Е называются узлами (вершинами) графа, а элементы множества D — ветвями (дугами) графа. Отображение Т каждой ветви графа dϵD сопоставляет упорядоченную пару его узлов (k₁,k₂), k₁,k₂ϵЕ, первый из которых называется началом ветви d, а второй — концом ветви d. Граф может быть изображен с помощью рисунка, на котором узлам соответствуют точки, а ветвям — линии со стрелками, идущими от начала к концу. Пусть заданы последовательность узлов k₀, k₁, k_2..., k_r графа и последовательность ветвей d₀, d₁, d_2..., d_r. Будем называть эту пару последовательностей путем, если узел k_j-1 является началом, а узел kj является концом ветви d_j, j = 1, 2,..., r. Узел k₀ называется началом пути, а узел k_r — концом пути, число r называется длиной пути.

Функционирование восстанавливаемой (и невосстанавливаемой) системы может быть описано графом состояний. Множество всех состояний системы Е отождествим с множеством узлов графа. Возможным переходам системы из одного состояния в другое сопоставим множество всех ветвей графа D. Будем считать, что все переходы системы за один шаг вызваны или отказом, или восстановлением некоторого элемента системы. Тем самым исключается возможность одновременного отказа или восстановления более чем одного элемента системы.

Информация о всевозможных переходах системы за один шаг содержится в матрице переходов Р размерности т×п. Каждый элемент b_ik этой матрицы представляет собой код состояния, в которое имеется непосредственный пе­реход из состояния с номером k вследствие изменения состояния (отказа или восстановления) i -го элемента. Если из состояния к отсутствует переход, вызванный изменением состояния i -го элемента, то соответствующее место матрицы Р не заполняется. Таким образом, элементам матрицы Р соответствуют ветви графа с началом в узле с кодом, соответствующим состоянию с номером k и с концом в узле с кодом b_ik. При этом в силу принятой нумерации состояний в матрице Р дается указание о номере элемента, отказ или восстановление которого вызвало данный переход.

При изучении свойств технической системы с точки зрения надежности нет необходимости задавать множество всевозможных переходов, т. к. они полностью определяются состояниями системы и списком аргументов, связанных с этими состояниями. Тем самым матрица Р может быть построена по матрице S программно. Для построения матрицы переходов надо определить допустимые переходы для каждого элемента. Допустимыми являются переходы вида:

s→s,s’,τ,OW;

τ→s,τ,τ’,OR;

s’→s,s’;

τ’→τ,τ’;

OR→s,OR.

OW→τ,OW.

Значения s,s’,τ,τ’,OR, OW представляют собой характеристики состояния каждого элемента системы (см. разд. 4.2.2). При этом переходы s→τ или s→OW будем называть отказовыми, а переходы τ→s или τ→OR — вос­станавливающими.

Чтобы определить существование перехода из состояния k в состояние l, надо сопоставить между собой компоненты векторов А_k =(а_1k, а_2k,.-., а_mk) и А_l = (а_1l, а_2l,.-., а_ml). Непосредственный переход k→l существует вследствие отказа или восстановления элемента i ₀, если переход а_i0k →a_i0l является отказовым или восстанавливающим, а остальные поэлементные переходы а_ik →a_il допустимы, но не являются отказовыми или восстанавливающи­ми. В этом случае b_i0k равен коду состояния с номером l. Таким путем может быть сформирована матрица Р. Если переход k→l не существует, то соответствующий элемент матрицы Р не заполняется.

ПРИМЕР 4.2. Составить матрицу и граф состояний для основного соединения трех элементов в предположении, что при отказе 1-го или 2-го элемента остальные элементы выключаются, а при отказе 3-го элемента остальные продолжают функционировать. Восстановление отказавших элементов производится одной ремонтной бригадой с обратным приоритетом.

Решение. Система имеет следующие состояния и соответствующие им вектора:

(0) — все элементы исправны, А₀ = (s₁,s₂,s₃);

(1) — отказал и восстанавливается 1-й элемент, другие элементы простаивают вследствие прерывания их работы А₁ = (τ₁,s_2’,s_3’);

(2) — отказал и восстанавливается 2-й элемент, другие элементы простаивают вследствие прерывания их работы, А₂ =(s₁',τ₂,s₃');

(3) — отказал и восстанавливается 3-й элемент, другие элементы продолжают работать, A₃ = (s₁,s₂,τ₃);

(31) — отказали 3-й, а затем 1-й элементы, восстанавливается 1-й элемент, 2-й простаивает вследствие прерывания работы, 3-й простаивает вследствие прерывания восстановления, А₄=(τ₁, s₂', τ₃');

(32) — отказали 3-й, а затем 2-й элементы, восстанавливается 2-й элемент, 1-й простаивает вследствие прерывания работы, 3-й простаивает вследствие прерывания восстановления, А₅ = (s₁', τ₂, τ₃').

Таким образом, матрица состояний имеет вид:

Граф состояний представлен на рис. 4.3. Он имеет нумерацию узлов, принятую ранее.

В соответствии с общими принципами построения матрицы переходов она имеет вид:

ПРИМЕР 4.3. Составить матрицу и граф состояний резервированной системы при общем постоянном резервировании кратности m = 2. Обслуживание отказавших элементов осуществляют два ремонтных органа с прямым приоритетом.

Решение. Система имеет следующие состояния:

(0) — все элементы исправны;

(k) — отказал и восстанавливается k- йэлемент, другие элементы работают;

(kl) — отказали и восстанавливаются элементы с номерами k и l, оставшийся элемент работает;

(klm) — отказали и восстанавливаются элементы с номерами k и l, оставшийся элемент находится в очереди на восстановление.

Матрица состояний имеет вид:

Граф состояний представлен на рис 4.4.

По графу легко составляется следующая матрица переходов:

4.2.4. Выражения для вероятностей состояний и параметров переходов между состояниями

Функционирование технической системы с произвольными законами распределения элементов может быть описано системой интегральных уравнений или эквивалентной системой дифференциальных уравнений в частных производных. Эти системы уравнений строятся непосредственно по матрице состояний S и матрице переходов Р.

Сначала получим явные соотношения для вероятностей состояний системы р_k(t) и параметров перехода из состояния в состояние ω_kl(t), k,l ϵ Е. Пусть k₀ — начальное состояние процесса функционирования технической системы. Обозначим через Г^(r)_k0,k множество всех путей графа состояний длины r с началом в узле k₀ и концом в узле k. Двигаясь по пути γ ϵ Г^(r)_k0,k, можно попасть из состояния k₀ в состояние k за r шагов (некоторые ветви при этом могут повторяться). Напомним, что за один шаг принимается переход, обусловленный или отказом, или восстановлением какого-либо одного элемента системы. Предположим, что путь γ проходит через состояния с номерами k₀,k₁,k₂,:,k_r=k. Обозначим через x_j время пребывания системы в состоянии k_j, а через x = (x₀, x₁,…., x_r)— вектор с компонентами x_j.

Рассмотрим изменение состояний i -го элемента на пути γ и определим функции характеризующие плотность распределения вероятностей пребывания i -го элемента в состоянии k_j в течение времени x_j, j = 0,1,2,..., r. Каждому узлу k_j отвечает значение i -й компоненты, равной одной из величин: s,s',τ,τ',OR,OW, при этом указанные величины чередуются в следующем порядке: OR (очередь на работу), s или s' (работа или прерывание работы), OW (очередь на восстановление), τ или τ' (восстановление или прерывание восстановления). Некоторые из приведенных величин могут быть опущены. Множество индексов {0,1,2,..., r }представимо в виде объединения непересекающихся подмножеств, состоящих из индексов, следующих в порядке возрастания:

где

Тогда функция определяется равенством

где f_i(t) и g_i(t) — плотности распределения времени безотказной работы и времени восстановления i -го элемента. С точностью до бесконечно малой величины Δх₀Δx_1….Δx_r функция равна, очевидно, мгновенной вероятности того, что i -й элемент пребывает в состоянии k_j время x_j, j =0,1,2,…, r.

Предположим, что последнее состояние k = k_r является состоянием работы или восстановления i -го элемента. Тогда имеет смысл говорить о мгновенной вероятности того, что i -й элемент в каждом состоянии k_j, кроме последнего, пребывает время x_j, а в последнем состоянии— время, не меньше x_r.

Совершенно ясно, что эта вероятность равна

ПРИМЕР 4.4. Пусть i -й элемент системы пребывает в состояниях s, τ, OR, s, τ, τ', τ, s, как показано на временной диаграмме (рис. 4.5). Требуется составить выражения для функций и,

Решение. На рис. 4.5 x ₀, х₁, х₂, х ₃, х₄, х₅, х₆, х₇ — времена пребывания 1-го элемента в соответствующих состояниях. Из диаграммы следует, что

Вероятность р_k(t) пребывания системы в момент временя t в состоянии k находится по формуле полной вероятности. Пусть H_γ(t) — событие, состоящее в том, что в момент t система достигла состояния k, двигаясь из начального состояния k₀ по пути γ ϵ. Вероятность этого события равна

где σ_r(X) = t обозначает гиперплоскость в (r + 1)-мерном евклидовом пространстве. Искомая вероятность равна сумме вероятностей событий Н_γ(t), вычисленной по всем путям γ, ведущим из состояния k₀ в состояние k, т. е.

Рассмотрим переход системы из состояния k в состояние l. Пусть этот переход вызван отказом или восстановлением элемента с номером i₀ = i ₀(k,l). Параметр перехода ω_k,l (t) представляет собой мгновенную вероятность перехода в момент t из состояния k в состояние l, отнесенную к единице времени, т. е.

Поэтому для получения параметра перехода необходимо в формуле (4.5) все функции при i ≠ i₀ оставить без изменения, а функцию — заменить на выражение

Таким образом,

Выражения (4.5) и (4.6) похожи по форме записи, поэтому их можно рассматривать совместно. С этой целью обозначим через Y_k{А_k,t) = Y_k(a_1k, а_2k,,..., а_тk, t) вероятность пребывания системы в момент времени t в состоянии k в предположении, что после момента t i -й элемент системы сохранит свое состояние работоспособности или восстановления в течение времени а_1k (i = 1, 2,..., т). Предположим, что функции Y_k имеют частные производные по всем переменным вида s и τ. Обозначим через y_k смешанную производную по этим переменным порядка α=| R_k ᴗ W_k | со знаком "+" или "-", определяемую формулой

Функции у_k представляют собой плотности распределения вероятностей и являются неизвестными в системе интегральных уравнений.

Поскольку

то

Вероятности состояний и параметры переходов находятся по функциям у_k с помощью единообразных соотношений. Действительно, как следует из (4.8), а также из (4.5) и (4.6), имеют место равенства:

где i ₀ = i₀ (k,l) — номер элемента, вызвавшего переход k→l, а вектор ⁾ получается из А_k, если положить в нем компоненту с номером i ₀ равной нулю, т.е. Интегрирование в (4.9) и (4.10) распространяется на все "ненулевые" значения переменных a_ik. В некоторых случаях удобно вычислять неизвестные функции прямо через вероятности Y_k в соответствии с формулами:

где 0 = (0, 0,..., 0) — нулевой вектор. Отсюда, в частности, следует, что при малых значениях параметров а_ik справедливо разложение

Суммирование в правой части распространяется на все состояния k и l, между которыми имеются переходы k→l.

4.2.5. Правило составления системы интегральных уравнений

Для каждого состояния k ϵ Е интегральное уравнение составляется следующим образом. Определяются все состояния, из которых имеется одношаговый переход в состояние k. Пусть j — одно из таких состояний, и переход из j в k вызван отказом или восстановлением элемента с номером i ₀ = i₀ (k,l). Обозначим через Х_jk=(х₁,x₂, …, х_т) вектор, в котором композиты х₁ принимают два значения: х (переменная интегрирования) или 0. Если в состоянии k элемент с номером i работает или восстанавливается, то x_i = х. Если в состоянии k элемент с номером i находится в состоянии простоя, то х_i = 0.

Пусть для i -го элемента h_i есть плотность распределения времени безотказной работы f_i, если а_ik = s_i, или плотность распределения времени восстановления g_i, если а_ik = τ_i. Тогда справедливо уравнение:

Суммирование в правой части производится по всем состояниям j, из которых имеется непосредственный переход в состояние k. Произведение под знаком интеграла распространяется на все индексы i, для которых вектор А_k \ имеет "ненулевые" компоненты. Для начального состояния k₀ к правой части соответствующего интегрального уравнения (4.11) добавляется слагаемое

обусловленное началом функционирования системы.

В справедливости системы (4.11) можно убедиться путем подстановки в нее функций (4.8). Эта система описывает функционирование технической системы с произвольными законами распределения времени безотказной работы и времени восстановления элементов при заданных плотностях распределения вероятностей. Она содержит в себе всю вероятностную информацию о работе и восстановлении технической системы.

Решение системы (4.11) позволяет определить по формулам (4.9) и (4.10) соответственно вероятности пребывания системы во всех состояниях и параметры переходов из состояния в состояние. Далее по известным соотношениям рассчитываются любые характеристики надежности.

Описание с помощью системы интегральных уравнений является универсальным и при сделанных ранее допущениях может служить математической моделью функционирования любого сложного устройства с конечным или счетным множеством состояний. В частности, эта система пригодна для описания невосстанавливаемых и восстанавливаемых устройств при любом виде резервирования. Она может быть использована для описания стационарного и нестационарного режимов эксплуатации. Кроме того, в ряде случаев система (4.11) позволяет получить некоторые качественные свойства функционирования системы.

Дата добавления: 2014-10-15