Випадкової величини

Числові характеристики неперервної

Математичне сподівання неперервної випадкової величини X

можливі значення якої належать всій осі Ох, визначається рівняністю

де f(x) — густина розподілу випадкової величини X. Передбачається, що інтеграл збігається абсолютно.

Зокрема, якщо всі можливі значення належать інтервалу (a,b), то

Якщо— функція випадкового аргументу X, можливі значення якого належать всій осі Ох, то

Зокрема, якщо можливі значення X належать інтервалу (а, b), то

Якщо математичне сподівання М (X) існує і крива розподілу симетрична відносно прямою , то М(Х) =С. Дисперсія неперервної випадкової величини X, можливі значення якої належать всій осі Ох, визначаються рівністю

або рівносильною рівністю

Зокрема, якщо всі можливі значення X належать інтервалу (а, b), то

або

Середнє квадратичне відхилення неперервної випадкової величини визначається так само, як і для дискретної величини:

Якщо — функція випадкового аргументу X, причому можливі значення X належать всій осі Ох, то

або

Зокрема, якщо всі можливі значення X належать інтервалу

(а, b), то

або

127. Випадкова величина X задана густиною розподілу в інтервалі (0,1); зовні цього інтервалу . Знайти математичне сподівання величини X.

Розв’язання. Використаємо формулу

Підставивши a=0, b=1, отримаємо:

128. Випадкова величина X задана густиною розподілуна інтервалі (0; 2); зовні цього інтервалу . Знайти математичне сподівання величини X.

129. Випадкова величина X в інтервалі (— с, с) задана густиною розподілу ; зовні цього інтервалу . Знайти математичне сподівання величини X.

Розв’язання: Використаємо формулу . Підставивши

a= –c, b =c, отримаємо:

Враховуючи, що підінтегральна функція непарна і межі інтегрування

симетричні відносно початку координат, маємо що інтеграл рівний нулю. Отже, М (Х) = 0.

Цей же результат можна отримати, якщо взяти до уваги, що крива розподілу симетрична відносно прямої x=0.

130. Випадкова величина X в інтервалі (2, 4) задана густиною розподілу; поза цим інтервалом. Знайти моду, математичне сподівання і медіану величини X.

Розв’язання: Представимо густину розподілу у вигляді:

.

Звідси видно, що при x=3 густина розподілу досягає максимуму, отже, . (Знайти максимум можна було методами диференціального числення).

Крива розподілу симетрична відносно прямої x=3 тому . Означимо М₀;М_е

131. Випадкова величина X в інтервалі (3, 5) задана густиною розподілу

; зовні цього інтервалу . Знайти моду, математичне сподівання і медіану X.

132. Випадкова величина X в інтервалі (—1, 1) задана густиною розподілу; зовні цього інтервалу . Знайти: а) моду; б) медіану X.

133. Випадкова величина X в інтервалі (–c; c) задана густиною розподілу , зовні цього інтервалу . Знайти дисперсію випадкової величини X.

Розв’язання: Шукатимемо дисперсію за формулою:

Підставляючи (крива розподілу симетрична відносно прямої x=0), a = — с, b=c,, отримаємо:

Зробивши підстановку остаточно маємо .

134. Випадкова величина X в інтервалі (—3, 3) задана густиною розподілу , зовні цього інтервалу . а) Знайти дисперсію X; б) яка подія ймовірніша X<1 чи X>1?

135. Випадкова величина X в інтервалі (0,) задана густиною розподілу

; зовні цього інтервалу . Знайти дисперсію випадкової величини X.

Розв’язання: Знайдемо дисперсію за формулою:

Підставивши сюди (крива розподілу симетрична відносно прямої , отримаємо:

Двічі інтегруючи за частинами, знайдемо

Підставивши (**) в (*), остаточно отримаємо .

136. Випадкова величина X в інтервалі (0,5) задана густиною розподілу

зовні цього інтервалу . Знайти дисперсію випадкової величини X.

137. Знайти дисперсію випадкової величини X, заданою функцією розподілу

Розв’язання: Знайдемо густину розподілу:

Знайдемо математичне сподівання

(підінтегральна функція непарна, межі інтегрування симетричні відносно початку координат).

Знайдемо шукану дисперсію, враховуючи, що :

Дата добавления: 2014-10-15