Пружні хвилі у шаруватому середовищі

Середовища, в яких розповсюджуються пружні хвилі, у переважній більшості випадків є неоднорідними. В них існують поверхні (або області), по обидві сторони від яких густини ρ та пружні властивості середовищ (E, μ, Vp, Vs) різні. Ці поверхні називають кордонами розділу середовищ. Якщо при перетині кордону параметри, які характеризують властивості середовища, змінюються стрибком, то такі границі називають різкими. Якщо з переходом від одного середовища до іншого їхні параметри поступово змінюються, то границі розділу цих середовищ називають нерізкими. Ділянка середовища з постійними або з повільно змінюючими пружними властивостями, яка знаходиться між двома кордонами розділу, називають шаром, а середовище, складене рядом шарів-шаруватим.

Нехай два однорідних пружних середовища розділені плоскою границею. Параметри першого середовища позначимо буквами з індексом “1”, а параметри другого середовища-з індексом “2”. З першого середовища на границю розділу падає фронт плоскої повздовжньої пружної хвилі. Нехай у плоскому перетині, перпендикулярному до границі і фронту, в деякий момент часу t хвиля, що падає, перетне границю у точці О (рисунок 7).

Рисунок. Відбиття та заломлення плоских хвиль на границі розділу двох середовищ.

Фронт P₁ плоскої повздовжньої хвилі, що падає, біжить вздовж границі і породжує утворення у першому середовищі двох плоских фронтів відбитих повздовжніх P₁₁ та поперечних P₁S₁ хвиль, а у другому середовищі двох плоских фронтів повздовжніх P₁P₂, що проходять, і поперечних P₁S₂ хвиль. Фронт хвилі, що падає, та породжених нею відбитих та тих хвиль, що проходять, мають загальну точку О^², яка ковзає вздовж границі розділу по ступеню розповсюдження вздовж неї фронту P₁ повздовжньої хвилі, що падає.

Між кутами, створеними фронтами розглянутих хвиль з границею розділу, і значеннями швидкостей розповсюдження повздовжніх та поперечних пружних хвиль в обох середовищах існує співвідношення:

, (1.1.1)

Величина V_K отримала назву позірної швидкості. Вона дорівнює швидкості розповсюдження вздовж границі розділу точки О^², тобто фронтів хвиль, що падають, відбиваються та заломлюються.

З наведеного співвідношення витікають основні закони відбиття та заломлення пружних хвиль на границях розділу. Кут падіння фронту повздовжньої пружної хвилі на границю розділу дорівнює куту відбиття фронту повздовжньої відбитої пружної хвилі.

, (1.1.2)

Відношення синусу кута падіння фронту повздовжньої хвилі до синуса кута заломлення фронту повздовжньої хвилі, що проходить, дорівнює відношенню швидкостей розповсюдження повздовжніх пружних хвиль у першому та другому середовищ

. (1.1.3)

Аналогічні співвідношення можна записати між кутами падіння, відбиття, заломлення і швидкостями розповсюдження повздовжніх та поперечних пружних хвиль в обох середовищах.

Якщо кут a падіння повздовжньої хвилі на границю збільшується, буде збільшуватись кут b_R повздовжньої хвилі, що проходять. Може створитись положення, коли кут b_R, стане дорівнювати 90^°, а його синус буде дорівнювати одиниці. У цьому випадку фронт хвилі, що проходить, займе положення, перпендикулярне до границі розділу, і буде розповсюджуватись вздовж неї зі швидкістю . Кут a, що дорівнює цьому випадку, за звичаєм позначають літерою і і називають критичним кутом або кутом повного внутрішнього відбиття. Синус кута і буде дорівнювати відношенню швидкостей до :

. (1.1.4)

Коли a > і у другому середовищі не утворюється повздовжня хвиля, що проходить, і вся енергія хвилі, що падає витрачається на утворення повздовжньої та поперечної відбитих хвиль і поперечної хвилі, що проходить. У випадку, коли >, можуть існувати два критичних кути i_PP та i_PS, де

. (1.1.5)

Якщо кут a стає більше кута i_PS, то вся енергія хвилі, що падає, йде на утворення тільки повздовжньої та поперечної відбитих хвиль.

Наведені раніше співвідношення між швидкостями розповсюдженнями та кутами падіння, відбиття і заломлення хвиль справедливі не тільки для фронтів хвиль, але й для їхніх параметрів. У останньому випадку уст кути повинні вимірюватись між променями та нормалями до границі розділу.

Падіння на границю розділу середовищ повздовжньої пружної хвилі зумовлює виникнення на ній двох повздовжніх та двох поперечних хвиль, що розповсюджується у першому та другому середовищах. Кожна з них, зустрівши на шляху свого розповсюдження нову границю розділу пружних властивостей, породить чотири нових хвилі і т.п. У багатошарових середовищах процес утворення пружних хвиль на границях нагадує лавоподібний процес поділу у ядерних реакціях.

Вторинні хвилі, тип яких відрізняється від хвилі, що падає, дістали назву обмінних хвиль.

Якщо повздовжня хвиля, що падає, є синусоїдальною, тоді синусоїдальними будуть і хвилі, які вона породить на границях розділу. Їхня відносна інтенсивність (відношення їхніх амплітуд до амплітуди хвилі, що падає) буде залежати від співвідношення пружних властивостей середовищ по обидва боки від границі і від кута падіння хвилі, що їх породжує, на границю. Якщо фронт хвилі, яка падає, є паралельним до границі розділу (нормальне падіння, кут a=0), то обмінні хвилі на границі відбитих та повздовжніх хвиль, що проходять, визначають за формулою (помінявши індекси P у V)

, (1.1.6)

. (1.1.7)

Величину A називають коефіцієнтом відбиття, а величину B – коефіцієнтом проходження хвиль. Добуток густини середовища r на швидкість розповсюдження у ньому повздовжньої хвилі V має назву хвильовим опором або акустичною твердістю середовища. Їх співвідношення визначають інтенсивності (амплітуди) відбитих хвиль та хвиль, що проходять. Коли хвильові опори середовищ, які по обидві сторони від границі розділу, значно різняться між собою, виникає інтенсивна відбита хвиля і утворену нею границю називають сильною. Коли хвильові опори середовищ близько границі різняться мало, виникає відбита хвиля слабкої інтенсивності і утворену нею границю називають слабкою.

Повздовжні і поперечні хвилі, що розповсюджуються від джерела на всі боки, проходять відбиття та заломлення на границях розділу середовищ по пружних властивостях і можуть спостерігатись у будь-якій точці усього об’єму середовища. Такі хвилі називають об’ємними. Крім тих, лише в окремих ділянках об’єму по обидві сторони від границь розділу середовищ виникають пружні хвилі, що отримали назву поверхневих. Одним з типів поверхневих хвиль, що виникають та розповсюджуються вздовж вільної поверхні, є поверхнева хвиля Релея. Ця хвиля, у якій одночасно відбуваються деформації об’єму та зсуву. Інтенсивність цієї хвилі швидко зменшується зі ступенем віддалення від вільної поверхні. Хвиля практично існує лише у шарі малої потужності(перші десятки метрів), який є прилеглим до вільної поверхні.

За теоретичними та експериментальними даними швидкість V_R розповсюдження поверхневої хвилі Релея вздовж вільної поверхні складає приблизно 0,9 V_S, тобто вона розповсюджується повільніше, ніж поперечна хвиля. За фронтом хвилі Релея частинки середовища здійснюють рух по еліптичним орбітам з амплітудою, на початку яка дещо збільшується, а потім зменшується як віддаляється точка спостережень від вільної поверхні. Фронт Релея у однорідному середовищі має форму циліндричної поверхні, вісь якої проходить через джерело пружних хвиль перпендикулярно до вільної поверхні. По “висоті” ця циліндрична поверхня складає близько однієї довжини її хвилі l_R. Якщо джерело хвилі діє короткий час, то поверхнева хвиля Релея має передній та задній фронти. Густина енергії поверхневої хвилі Релея зменшується з розповсюдженням обернено пропорційно відстані r від джерела, а амплітуда зміщення частинок за її фронтом обернено пропорційно , тобто повільніше, ніж за фронтом повздовжніх та поперечних об’ємних хвиль. Внаслідок цього з розповсюдженням вздовж вільної поверхні поверхневі хвилі проявляють себе сильніше, ніж об’ємні. Руйнівні дії у випадку землетрусів пов’язані з поверхневими хвилями Релея великої інтенсивності. У сейсмічному методі відбитих хвиль поверхневі хвилі Релея додають труднощі у виділенні та простеженні відбитих хвиль та відіграють роль хвиль-завад.

Розглянемо особливості відбиття та заломлення на плоскій поверхні розділу двох пружних середовищ повздовжньої сферичної хвилі, збудженої точковим джерелом типу розширення. Зміна з часом хвильової картини по обидва боки від границі будемо розглядати у площині, що проходить через джерело і є перпендикулярною до поверхні розділу. Перетин цією площиною фронтів хвиль у різні моменти часу дасть сімейство кривих під назвою ізохрони. Ці криві з’єднують між собою точки середовища, яких досягли ті або інші хвилі в одні і ті ж моменти часу. Для спрощення хвильової картини обмежимося розглядом тільки повздовжніх хвиль у випадках, коли V₂<V₁ та V₂>V₁. Літерами V₁ та V₂ позначимо швидкості розповсюдження повздовжніх хвиль у середовищах, які вище та нище плоскої поверхні розділу. На рисунку, а зображено процес розповсюдження хвиль у випадку V₂<V₁, а на рисунку, б – для випадку V₂>V₁.

Рисунок. Відбиття та заломлення сферичних хвиль на границі розділу двох середовищ.

За початок відліку часу береться момент t=0 збудження пружної хвилі у джерелі О. Інтервал часу між сусідніми ізохронами залишається сталим і дорівнює

Dt=t₉-t₈=t₈-t₇=….=t₃-t₂=t₂-t₁=t₁ .

У момент часу t=0 повздовжня пружна хвиля починає розповсюдження з джерела О. У моменти часу t₄ фронт хвилі, що падає, досягає границі розділу у точці О^² і з цього моменту часу на границях починають утворюватись фронти відбитих та повздовжних хвиль прохідних. У випадку, коли V₁>V₂ (друге середовище менш тверде), фронт хвилі, що падає, завжди буде розповсюджуватись вздовж границі розділу середовищ з позірною швидкістю V_K>V₂. На границі будуть утворюватись відбиті та прохідні хвилі, фронти яких мають спільні точки. Фронт хвилі, що падає, біжить вздовж границі з більшою, ніж V₂, швидкістю і породжує фронти відбитої та прохідної хвилі, які тягнуться за фронтом, що їх породив. У випадку плоскої границі розділу і однорідних середовищ фронт відбитих повздовжніх хвиль буде залишатись сферичним, як ніби він був збудженим у точці О^¢, яка є дзеркальним відбиттям джерела О у відбивальній площині. Точку О^¢ називають уявним джерелом.

Фронт повздовжної прохідної хвилі змінить свою форму залежно від співвідношення швидкостей V₁та V₂ та поблизу від границі розділу буде суттєво відрізнятись від сферичного. Через те що коефіцієнти відбиття та проходження пружних хвиль залежать від кута падіння фронта на границю, інтенсивності хвиль у різних ділянках фронтів будуть відрізнятись один від одного.

У випадку, коли V₂>V₁, процес розповсюдження пружних хвиль буде суттєво відрізнятись від розглянутого першого випадку. Почавши з моменту часу t₄ хвиля, що падає, буде так само породжувати відбиту та прохідну повздовжню хвилі. При цьому на відрізку границі між точками О^² та N фронт хвилі, що падає, буде розповсюджуватись вздовж границі з позірною швидкістю V_K>V₂. Фронт хвилі, що падає, буде тягнути за собою фронти відбитих та прохідних хвиль. На ділянці границі, що справа точки N (дивіться рисунок;б) фронт хвилі, що падає, буде розповсюджуватись вздовж границі з позірною швидкістю V_K<V₂. Фронт прохідної повздовжньої хвилі, який розповсюджується у нижньому середовищі вздовж границі зі швидкістю V₂, починає обганяти фронти відбитих та тих, що падають, хвиль повздовжніх.

Внаслідок цього у верхньому середовищі виникне нова хвиля, фронт якої буде розповсюджуватись вздовж границі розділу з позірною швидкістю V_K=V₂. Фронт цієї нової пружної хвилі, яка отримала назву головної (або заломленої), у площині креслення буде мати форму прямої лінії. У просторі ж її фронт являє собою конусоподібну поверхню, вісь якої перпендикулярна до площини розділу і проходить через джерело О. На рисунку, б положення фронтів повздовжної головної хвилі у різні моменти часу зображень пунктиром. Фронт головної хвилі дотикається до фронту відбитої хвилі у точках, сукупність яких утворює промінь, який є загальним для повздовжніх відбитих та головних хвиль і початковим промінням для головних хвиль. У точці N фронт хвилі, що падає, утворює з границею розділу критичний кут i. Головні хвилі належать до типу конічних хвиль. Іноді їх називають бічними хвилями або хвилями Мінтропа. Границю, на якій утворюються головні хвилі, називають заломлюючою. Точку N, через яку проходить перший (початковий) промінь головної хвилі, називають початковою або граничною.

Хвилю, що вийшла з джерела, відбилась від границі розділу і досягла вільної поверхні, називають відбитою або одноразово-відбитою хвилею.

Хвилі, що здійснили два або більше відбиттів від границі розділу пружніх середовищ і вільної поверхні, називають кратними (або багатократними) відбитими хвилями. Хвилю, що розповсюджується від джерела безпосередньо до вільної поверхні, називають прямою хвилею. Впавши на вільну поверхню поблизу джерела, пряма хвиля відбивається від неї і утворює у середовищі відбиті та кратно-відбиті хвилі, які називають хвилями-супутниками, через те що вони йдутьз невеликою часовою затримкою за відбитими та кратно-відбитими хвилями, утвореними за рахунок падіння повздовжної хвилі з джерела безпосередньо на границю розділу двох пружних середовищ. За фронтом хвилі-супутника зміщення частинок є оберненим порівняно з основною хвилею. Якщо основна хвиля є хвилею стискання, то хвиля-супутник – хвилею розрідження (рисунок).

Рисунок.Графік коливань основної хвилі (а) і хвилі-супутника (б)

Хвилі, що вийшли з джерела і впали на границю розділу двох пружних середовищ під критичним кутом, утворюють на цій границі головні (або заломлені) хвилі. Точку N (дивіться рисунок) на вільній поверхні, яку досягає перший промінь головної хвилі, називають початковою точкою. Головні хвилі, що досягли вільної поверхні, можуть утворювати на ній відбиту хвилю, яка повернувши до границі розділу, може знову від неї відбитись. Такі хвилі називають заломлено-відбитими. Можливим є випадок, коли повздовжня хвиля, що вийшла з джерела, спочатку здійснить шлях як відбита, а потім утворить на границі двох пружних середовищ головну (заломлену) хвилю. Такі хвилі мають назву відбито-заломлені хвилі. Можливим є також утворення заломлено відбитих та відбито-заломлених хвиль-супутників. Таким чином, поява вільної поверхні ще більше ускладнює картину утворення та розповсюдження різних пружних хвиль у шаруватому середовищі.

Розглянемо випадок, коли у пружному середовищі знаходиться дуже твердий пружний шар, який виклинюється (рисунок).

Рисунок. Дифракція сферичної хвилі (по Р. Е. Шерифу)

1 – фронт хвилі, що падає; 2 – фронт відбитої хвилі; 3 – фронт дифрагованої хвилі; 4 – твердий пласт, що виклинюється; О – джерело збудження; О^² - уявне джерело; D – точка дифракції.

Нехай з точкового джерела О у напрямку шару, який виклинюється, падає повздовжня хвиля. Промені цієї хвилі, які лівіше та нижче променя OD (D – точка виклинювання шару), не зустрічають твердого шару і розповсюджується нижче нього. На рисунку зображено положення фронтів відбитої та хвилі, що падає, у декотрий момент часу після початку відбиття хвилі від шару, що виклинюється. За фронтами хвиль, що падають та відбиваються, схематично зображено графіки коливань частинок середовища.

У момент приходу хвилі, що падає, у точку D шару, який виклинюється, ця точка (або лінія у просторі) стає, згідно принципу Гюйгенса, джерелом сферичної хвилі, яка дістала назву дифрагованої. Фронт дифрагованої хвилі завжди торкається фронтів хвиль, що падають і відбиваються, у точках їхнього перетину з променем OD. Лівіше відбитого променя OD інтенсивність дифрагованих хвиль буде поступово слабнути. Правіше відбитого променя OD дифраговані хвилі будуть накладатись на відбиті та формувати інтеренференційну хвилю. Правіше променя OD, що падає, у області під шаром, що виклинюється, там, де здавалось, повинна бути хвильова тінь, за рахунок дифрагованої хвилі буде спостерігатись поступово затихаючий фронт. Тому під дифракцією нерідко розуміють явище обгинання хвилею перепони, що зустрілась на її шляху. Лівіше променя OD прохідна і дифрагована хвилі будуть інтерферувати одна з одною.

Найбільша інтенсивність дефрагованих хвиль спостерігається у областях дотикання їхніх фронтів з фронтами хвиль, що падають і відбиваються. З віддаленням від цих областей інтенсивність дифрагованих хвиль швидко зменшується. Спостерігається деяке збільшення видимого періоду коливань частинок за фронтом дифрагованої хвилі порівняно з хвилями, що падають, і відбитими хвилями.

Дата добавления: 2014-10-15