Регрессионный анализ

Если корреляционный анализ на основе диаграмм разброса позволяет установить наличие и оценить степень тесноты взаимосвязи двух и более параметров, то регрессионный анализ позволяет выразить установленную взаимосвязь в виде уравнения регрессии, которое кроме возможности рассчитывать характеристику (или результат) у по одному или многим факторам (или причинам) х, даёт тоже достаточно много информации о характере и степени тесноты между исследуемыми параметрами.

В производстве стекла имеются весьма широкие возможности использования регрессионного анализа, например. для оценки взаимосвязи параметров качества или свойств стекла (как материала) с химическим составом; параметров качества выпускаемой продукции (свойств, например, ленты стекла) с технологическими параметрами приготовления шихты, варки стекла, формования, отжига ленты и т.д.

Для регрессионного анализа используют данные а к т и в н ы х экспериментов, в ходе которых «раскачивают» технологический процесс, и данные п а с с и в н ы х экспериментов, т.е. результаты текущих наблюдений за процессом. При этом в первом случае возможна «порча» продукции; во втором случае в процесс не вмешиваются, за ним только наблюдают.

Ход регрессионного анализа рассмотрим на конкретном примере. Хотя расчёт можно вести с помощью компьютеров, предлагаем для понимания процесса расчёта подробное изложение его.

Найдем уравнение регрессии между содержанием в стекле оксида Fe ₂ O ₃ (F) и светопропусканием стекла в ИК-области спектра (D) по экспериментальным данным (пассивный эксперимент!), представленным в табл. 10. В предыдущем примере мы установили, что связь между этими параметрами существует. Но какая: линейная или криволинейная? – неизвестно.

Задаёмся самой простой формой связи – линейной и будем рассчиты-

вать уравнение регрессии 1-ой степени, которое имеет следующий вид:

D = a ₀ + a _{1 F}.

Cоставим систему уравнений на основе экспериментальных данных:

a ₀ · n + a ₁ · Σ F = Σ D,

a ₀ · Σ F + a ₁ · Σ F ² = Σ D*F.

Подсчитаем соответствующие суммы и подставим их в уравнения. При этом следует иметь в виду: Σ F ² не равна (Σ F) ² и соответственно Σ D*F не равна (Σ D)*(Σ F).

26 a ₀ + 7,41 а ₁ = 16,557;

7,41 а ₀ + 2,114 а ₁ = 4,716625.

При расчёте уравнений регрессии (если он ведётся не на компьютере, а с помощью калькулятора) рекомендуем считать до 5-6 знака за запятой. Это обеспечит необходимую точность уравнения регрессии.

Разделим каждое из уравнений на коэффициент при а ₀:

а ₀ + 0,28500 а ₁ = 0,63681;

а ₀ + 0,28529 а ₁ = 0,63652.

Для исключения из системы одного неизвестного вычитаем одно уравнение из другого. Лучше из уравнения с самым большим коэффициентом при а ₁.

В нашем случае из второго вычтем первое уравнение. Получим

0,00029 а ₁ = - 0,00029.

а ₁ = - 1,0.

Для определения а ₀ усредним последнюю систему уравнений (сложим коэффициенты и разделим пополам):

а ₀ + 0,285145 а ₁ = 0,636665.

Из этого уравнения находим а ₀, подставив в него ранее найденное значение а ₁: а ₀ = 0,636665 – 0,285145 * (- 1,0),

а ₀ = 0,92181

В результате можно представить уравнение регрессии 1-ой степени:

D = 0,92181 – 1,0 F.

Используя это уравнение и экспериментальные значения F, рассчитаем значения D'_расч (см. табл. 9), образующие прямую линию регрессии.

Таблица 9.

Экспериментальные и расчётные данные

rорреляционно-регрессионного анализа взаимосвязи

cветопропускания стекла (D) и содержания в нём оксида железа (F)

	F	D эксп	D ^'расч	D^''расч	D^'''расч
	0,28	0,647	0,64181	0,64173	0,64176
	0,28	0,659	0,64181	0,64173	0,64176
	0,295	0,643	0,62681	0,62697	0,62696
	0,29	0,629	0,63181	0,63189	0,63192
	0,28	0,636	0,64181	0,64173	0,64176
	0,3	0,618	0,62181	0,62205	0,62196
	0,3	0,615	0,62181	0,62205	0,62196
	0,29	0,628	0,63181	0,63189	0,63192
	0,29	0,632	0,63181	0,63189	0,63192
	0,29	0,635	0,63181	0,63189	0,63192
	0,3	0,629	0,62181	0,62205	0,62196
	0,29	0,641	0,63181	0,63189	0,63192
	0,28	0,635	0,64181	0,64173	0,64176
	0,28	0,635	0,64181	0,64173	0,64176
	0,28	0,629	0,64181	0,64173	0,64176
	0,27	0,649	0,65181	0,65156	0,65147
	0,28	0,643	0,64181	0,64173	0,64176
	0,27	0,644	0,65181	0,65156	0,65147
	0,275	0,645	0,64681	0,64664	0,64663
	0,285	0,631	0,63681	0,63681	0,63686
	0,295	0,626	0,62681	0,62697	0,62696
	0,27	0,662	0,65181	0,65156	0,65147
	0,285	0,629	0,63681	0,63681	0,63686
	0,295	0,618	0,62681	0,62697	0,62696
	0,285	0,644	0,63681	0,63681	0,63686
	0,275	0,655	0,64681	0,64664	0,64663
σЭ		0,00015
σ р			0,000114	0,0000831	0,0000833
R			0,4899	0,6678	0,6668

Теперь необходимо оценить, насколько полученное уравнение адекватно экспериментальным данным. Для этого используют критерий, тоже называемый коэффициентом корреляции, но определяемый иначе:

_____________

R = √ 1 – σ _расч / σ _эксп,

___________________

где σ _расч = √ Σ (D _i-эксп - D'_расч ) ² / n - дисперсия расчётных данных отно-

сительно экспериментальных,

________________

σ _эксп = √ Σ (D _i-эксп - ) ² / n - дисперсия экспериментальных данных

относительно своей средней арифметической.

n - число данных в выборке.

Рассчитав дисперсии, получим коэффициент корреляции для линейной взаимосвязи параметров __________________

R = √ 1- 0,000114 / 0,00015 = 0,4899..

Как и следовало ожидать, судя по диаграмме разброса, адекватность расчётных и экспериментальных данных мала, а поэтому необходимо продолжить анализ и рассчитать уравнение регрессии 2-ой степени вида:

D = a ₀ + a _{1 *} F + a _{2 *} F ².

Составим систему необходимых уравнений:

a _{0 *} n + a _{1 *} Σ F + a _{2 *} Σ F ² = Σ D,

a _{0 *} Σ F + a _{1 *} Σ F ² + a _{2 *} Σ F ³ = Σ D _* F,

a _{0 *} Σ F ² + a _{1 *} Σ F ³ + a _{2 *} Σ F ⁴ = Σ D _* F ².

26 a ₀ + 7.41 a ₁ + 2.114 a ₂ = 16.557;

7.41 a ₀ + 2.114 a ₁ + 0.603716 a ₂ = 4.716625;

2.114 a ₀ + 0.603716 a ₁ + 0.172584 a ₂ = 1.345003.

a ₀ + 0.285 a ₁ + 0.081308 a ₂ = 0.636808,

a ₀ + 0.28529 a ₁ + 0.08147 a ₂ = 0.63652,

a ₀ + 0.28558 a ₁ + 0.081638 a ₂ = 0.636236.

Из третьего уравнения по-очерёдно вычитаем первое и второе:

0.00058 a ₁ + 0.000385 a ₂ = - 0.000574,

0.00029 a ₁ + 0.000168 a ₂ = - 0.000284.

a ₁ + 0,663793 а ₂ = - 0,989655,

а ₁ + 0,57931 а ₂ = - 0,97931.

Из первого уравнения вычтем второе:

0,084483 а ₂ = - 0,010345; а ₂ = - 0,012245.

Из предыдущих двух уравнений, усредняя их находим:

а ₁ = - 0,6215515 а ₂ – 0,9844825; а ₁ = - 0,976872.

Систему из трёх уравнений, где коэффициенты при а ₀ равны единице, усредняем и определяем а ₀:

а ₀ = - 0,28529 а ₁ – 0,081472 а ₂ + 0,636522; откуда а ₀ = 0,916211.

Теперь запишем уравнение регрессии 2-ой степени:

D = 0.916211 – 0.976872 F – 0.012245 F ².

Рассчитав по этому уравнению значения D"_расч и занеся их в таблицу 9, определим дисперсию расчётных данных относительно экспериментальных: σ" _расч = 0,0000831. Теперь коэффициент корреляции R = 0,6678.

Одно из правил оценки адекватности линий регрессии гласит, что дисперсия расчётных по уравнению регрессии данных относительно экспериментальных должна быть на порядок меньше дисперсии экспериментальных данных относительно их средней арифметической (или коэффициент корреляции должен быть больше 0,9 - при хорошо коррелированных параметрах).

Если бы мы таким же образом рассчитали уравнение регрессии 3-ей степени (кубическая парабола) вида:

D = a ₀ + a _{1 *} F + a _{2 *} F ² + a _{3 *} F ³,

то получили бы следующее уравнение:

D = 0.866938 – 0.64025 F – 0.553823 F ² – 0.113272 F ³.

Рассчитав по этому уравнению значения D"'_расч (см. табл. 13), определим дисперсию σ"'_расч = 0,0000833; тогда коэффициент корреляции R = 0,6668. Делаем вывод, что уравнение 3-ей степени в нашем случае менее адекватно, чем уравнения 2-ой степени, будучи и более сложным в использовании. А поэтому результатом регрессионного анализа принимаем уравнение 2-ой степени.

На рис. 22 можно увидеть соотношение экспериментальных данных по светопропусканию стекла с расчётными по разным уравнениям регрессии. Самые близкие к экспериментальным точкам точки линий уравнений 2-ой и 3-ой степени.

При использовании разных методов расчёта, разной степени округления данных расчёта для одних и тех же выборок могут быть получены несколько отличные уравнения регрессии, но при этом достаточно адекватные экспериментальным данным.

Так если систему уравнений из предыдущего расчёта

26 a ₀ + 7.41 a ₁ + 2.114 a ₂ = 16.557;

7.41 a ₀ + 2.114 a ₁ + 0.603716 a ₂ = 4.716625;

2.114 a ₀ + 0.603716 a ₁ + 0.172584 a ₂ = 1.345003.

решить с помощью компьютерной программы Solver, то получим следующее уравнение 2-ой степени:

D = 0,99869 – 1,55383 F + 0,995707 F ².

Для этого уравнения расчётная дисперсия σ = 0,0000836 и соответственно коэффициент корреляции R = 0,6656. Что тоже свидетельствует о достаточной адекватности уравнения регрессии экспериментальным данным.

Криволинейные зависимости целесообразно иногда оценить на возможность замены их на 2-3 прямолинейные зависимости. Например, квадратичную параболу можно сопоставить с двумя пересекающимися прямыми (см. рис. 19 Д и Е); кубическую – с двумя, почти параллельными общему направлению распределения точек, прямыми; и т.д. И главным критерием при этом должен оставаться коэффициент корреляции R.

Таким образом, результатом корреляционно-регрессионного анализа является выбор из разных (по форме линии регрессии) рассчитанных уравнений наиболее адекватного из них, т.е. чьи расчётные данные менее разбросаны относительно экспериментальных данных.

Рис. 22. Сопоставление рассчитанных уравнений регрессии

В заключение приведём пример (по Ремезову Н.И.) метода решения производственных задач, который напрямую не связан с выше перечисленными методами статистики, но может быть интересен для заводчан.

На заводе изготавливаются изделия А и Б. Цех 1 может изготовить за смену 8 изделий А или 4 изделия Б; цех 2 – соответственно 3 изделия А или 3 изделия Б; цех 3 – 1 изделие А или 3 изделия Б. Необходимо составить оптимальный план производства, чтобы

1) выпуск заводом в смену составлял 1 изделие А и максимальное количество изделий Б;

2) выпуск в смену должен составлять 1 изделие Б и максимальное количество изделий А.

Возможности цехов представим в виде следующей таблицы:

	Возможности цехов по выпуску
	Только изд. А	Только изд.Б	Одновременно и А, и Б
Цех 1			7 А + 0,5 Б; 3 А + 2,5 Б; 6 А + 1 Б; 2 А + 3 Б; 5 А + 1,5 Б; 1 А + 3,5 Б 4 А + 2 Б;
Цех 2			2 А + 1 Б; 1 А + 2 Б
Цех 3			0,5 А + 1 Б

На первый взгляд – самое эффективное производство в цехе 1, и оба

задания надо поручать этому цеху Однако: в цехе 1 - самое дешёвое изготовление изделия А, но дешёвое производство изделия Б – в цехе 3. Поэтому общую стоимость производства следует оценивать с учётом альтернативы – если не это изделие, а другое, то сколько (т.е. во что это обойдётся).

1) Условие: 1 А + макс. Б Оценим ситуации, когда выпуск изделия А был бы поручен одному из цехов:

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3
Цех 1 – 1 А + 3,5 Б	Цех 1 - 4 Б	Цех 1 - 4 Б
Цех 2 - 3 Б	Цех 2 – 1 А + 2 Б	Цех 2 - 3 Б
Цех 3 - 2 Б	Цех 3 - 2 Б	Цех 3 – 1 А + -
Итого - 1 А + 8,5 Б	Итого – 1 А + 8 Б	Итого – 1 А + 7 Б

Из таблицы очевиден наилучший вариант (1).

3) Условие: макс. А + 1 Б. Составим таблицу как и в 1 случае:

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3
Цех 1 – 1 Б + 6 А	Цех 1 - 8 А	Цех 1 - 8 А
Цех 2 - 3 А	Цех 2 – 1 Б + 2 А	Цех 2 - 3 А
Цех 3 - 1 А	Цех 3 - 1 А	Цех 3 – 1 Б + 0,5 А
Итого – 1 Б + 10 А	Итого – 1 Б + 11 А	Итого – 1 Б + 11,5 А

В этом случае лучший вариант 3.

Вывод: каждый должен заниматься тем, что у него лучше получается!

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для управления качеством продукции на производстве специалисты привлекают всё более и более новые методы анализа.

Как показывает исторический опыт, именно нетрадиционные подходы к решению тех или иных задач, объяснению разнообразных явлений способствовали развитию цивилизации (закон всемирного притяжения, который возник в результате качественного отождествления «яблока» и земного шара, нелинейные пространства Лобачевского и др.).

В экономическом анализе также возникали подобные идеи, в частности функционально-стоимостный анализ (ФСА), который первоначально разрабатывался как метод поиска резервов сокращения затрат на производство.

Чтобы понять его сущность, прочитаем аббревиатуру ФСА справа налево: анализ стоимости функций. Возникает вопрос: о каких функциях идет речь? Здесь и проявляется инертность нашего мышления. Обычно последовательность поиска резервов сокращения затрат или снижения себестоимости для аналитика не вызывает сомнении. Это группировка фактических сумм затрат по определенным статьям и элементам, а затем сравнение этих сумм с запланированными или (еще лучше) с нормативными. Полученные таким образом положительные отклонения соответственно обычной логике и считают резервами. Такой подход на практике дает определенные плоды: ставится преграда расточительству, выбираются более дешевые материалы, сберегаются трудовые ресурсы. Однако данный подход серьезно ограничен статичностью самого продукта и технологии его производства.

Часто представление о возможностях ФСА очень сужено. Считают, что это исключительно инженерный анализ, пригодный только для конструкторской доработки технических изделий. На самом деле это не так. С точки зрения ФСА могут изучаться любые объекты. Например, технология выращивания какой-либо культуры представляет собой комплекс технологических операций, каждая из которых выполняется для достижения определенной цели. В этом и состоит функция каждой операции. Очевидно, многие из этих функций могут выполняться разными способами (разные агроприемы, агрегаты и т. д.), с разными затратами. Более того, с точки зрения агрономии не исключено, что в состав используемой технологической схемы могут входить и совсем ненужные технологические операции. Этот же подход может быть использован в отношении состава основных производственных средств предприятия (каждый их вид выполняет какую-либо функцию).

ФСА представляет собой эффективный способ выявления резервов сокращения затрат, который основывается на поиске более дешевых способов выполнения главных функций (путем организационных, технических, технологических и других изменений производства) при одновременном исключении лишних функций.

Конечная цель ФСА — поиск наиболее экономичных, с точки зрения потребителя и производителя, вариантов того или иного практического решения. Для достижения этой цели с помощью ФСА решаются следующие задачи:

• дается общая характеристика объекта исследования;
• производятся его детализация на функции и группировка выделенных функций на главные, вспомогательные и ненужные;
• определяются и группируются затраты соответственно выделенным функциям;
• исчисляется сумма затрат на изготовление изделия при исключении лишних функций и использовании других технических и технологических решений;
• разрабатываются предложения по технологическому и организационному усовершенствованию производства.

Объектами ФСА могут быть как отдельные виды изделий, так и технологические процессы и вообще любой процесс, связанный с затратами.

Критериями выбора объекта являются показатели, характеризующие объем производства изделий, их себестоимость, уровень рентабельности, удельный вес их в общем выпуске продукции в перспективе, количество рекламаций, характер и причины брака и т.д. На основе анализа этой информации отбирается изделие, которое в первую очередь подлежит ФСА.

Перспективы дальнейшего развития ФСА заключаются и в том, чтобы внедрять в его методику экономико-математические методы и компьютерные технологии обработки информации, а на общегосударственном уровне — обобщать опыт проведения ФСА в различных отраслях с целью его популяризации и совершенствования.

(Более подробно о ФСА можно прочитать в статье «Второе рождение ФСА», представленной в комплекте данной учебной дисциплины в папке «Дополнительные материалы», далее в папке «Разное»).

В промышленно развитых странах предприятиями, работающими в условиях сильнейшей конкуренции товаров и их качества, накоплен огромный опыт по созданию, совершенствованию и применению различных методов по предупреждению появления ошибок и устранению их первопричин. В книге [6] описывается один из наиболее эффективных методов – метод FMEA – на современном уровне его развития и применения. Это – метод систематической оценки потенциальных отказов и устранения причин их появления (о целесообразности использования которого указано в элементе 8 МС ИСО 9004-1) Применение метода FMEA обусловлено следующими причинами:

Необходимость для предприятия создания высокотехнологичного продукта, обеспечивающего достижение жизненно важно цели производства – продукции без брака.

Необходимость строго следовать таким нормам, как ИСО 9001 (элементы 4.4 – проектирование, 4.9 – производство, 4.20 – статистические методы), а также требованиям законов по защите прав потребителей, безопасности потребителей и окружающей среды.

Возрастающие требования заказчиков к безотказности продукции, приспособленности к условиям эксплуатации, сервису и др.

Обостряющаяся конкуренция.

В книге [6] рассмотрены основные принципы организации работ на предприятии по практическому применению метода FMEA. Приводится справочный материал, а также примеры анализа. Особое внимание обращается на наиболее сложные и важные положения по проведению FMEA такие, как функциональный анализ, отбор элементов для FMEA, определение вероятности отказов и др. Основные ключевые положения и цели метода FMEA выделены в виде соответствующих рисунков и подписей к ним. Книга рекомендуется в качестве практического пособия для инженерно-технического персонала предприятий, занимающегося созданием систем, конструкций и процессов. Она может быть использована при обучении инженерно-технических работников предприятий и студентов вузов. Авторы очень надеются, что книга окажется полезной и для руководителей предприятий.

ЛИТЕРАТУРА

1. Косарев Е.Л. Методы обработки экспериментальных данных. – М.: Физматлит, 2008.

2. Повитков Г.Ф. Обработка результатов эксперимента /Мет. указ. к лаб. работе. – СГТУ, 2006.

3. Расчётные методы анализа в производстве строительных изделий. – Метод. указания к практ. работам по курсу «Метрология, стандартизация, сертификация», 2006.

4. Попов К.Н. Оценка качества строительных материалов /Уч. пособие – М.: Высшая школа, 2004.

5. Повитков Г.Ф. Расчёты в производстве строительного стекла (Статистические методы анализа): Учеб. пособие. Саратов: Сарат. Гос. Техн. ун-т, 2004. – 64 с.

6. Брагин В.В. Оценка риска и последствий отказов комплексной системы, конструкции, процессов / В.В. Брагин, Ф. Чабон – Рынок и качество Ярославии, 1997, № 1.

7. ГОСТ Р 50779.42 (ИСО 8258-91). Статистические методы. Контрольные карты Шухарта.

8. Семь инструментов контроля качества в японской экономике / Э.К. Николаева. – серия «Качество, экономика, общество. Современные проблемы» - М.: Изд. Стандартов и ВНИИКИ, 1990. – 89 с.

9. Половинкин А.И. Методы инженерного творчества – Волгоград: ВПИ, 1984. – 365 с

10. Дискина Р.М., Маневич В.Е., Маркова Е.В. К вопросу использования статистических методов обработки информации при решении технологических задач / Труды ГИС «Стекло» - М.: Стройиздат. – 1970. - № 1. – с.49-55.

11. Налимов В.В., Чернова Н.А. Статистические методы планирования экстремальных экспериментов. – М.: Наука, 1965. – 340 с.

12. ГОСТ 8.207-76. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений.

13. ГОСТ 11.002-73. Правила оценки анормальности результатов наблюдений.

14. ГОСТ 11.006-74. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим.

15. ГОСТ 8.011-72. (МИ 1317-86). Показатели точности измерений и форм представления результатов измерения.

16. ГОСТ 8.381-80. Эталоны. Способы выражения погрешностей. Приложение 4.

17. Учебник по статистике (пакет программ Statistica Industrial System) – http://www/statsoft.ru

Приложение 1

Вероятности F – распределения для значений от F_α до + ∞ (α = 0,05)

(степень свободы для рассеяние в числителе – k ₁, в знаменателе – k ₂)

k 2	k 1
	18.51	19.00	19.16	19.25	19.30	19.33	19.36	19.37	19.38	19.39	19.40
	10.13	9.55	9.28	9.12	9.01	8.94	8.88	8.84	8.81	8.78	8.76
	7.71	6.94	6.59	6.39	6.26	6.16	6.09	6.04	6.00	5.96	5.93
	6.61	5.79	5.41	5.19	5.05	4.95	4.88	4.82	4.78	4.74	4.70
	5.99	5.14	4.76	4.53	4.39	4.28	4.21	4.15	4.10	4.06	4.03
	5.59	4.74	4.35	4.12	3.97	3.87	3.79	3.73	3.68	3.63	3.60
	5.32	4.46	4.07	3.84	3.69	3.58	3.50	3.44	3.39	3.34	3.31
	5.12	4.26	3.86	3.63	3.48	3.37	3.29	3.23	3.18	3.13	3.10
	4.96	4.10	3.71	3.48	3.33	3.22	3.14	3.07	3.02	2.97	2.94
	4.84	3.98	3.59	3.36	3.20	3.09	3.01	2.95	2.90	2.86	2.82
	4.75	3.88	3.49	3.26	3.11	3.00	2.92	2.85	2.80	2.76	2.72
	4.67	3.80	3.41	3.18	3.02	2.92	2.84	2.77	2.72	2.67	2.63
	4.60	3.74	3.34	3.11	2.96	2.85	2.77	2.70	2.65	2.60	2.56
	4.54	3.68	3.29	3.06	2.90	2.79	2.70	2.64	2.59	2.55	2.51
	4.49	3.63	3.24	3.01	2.85	2.74	2.66	2.59	2.54	2.49	2.45
	4.45	3.59	3.20	2.96	2.81	2.70	2.62	2.55	2.50	2.45	2.41
	4.41	3.55	3.16	2.93	2.77	2.66	2.58	2.51	2.46	2.41	2.37
	4.38	3.52	3.13	2.90	2.74	2.63	2.55	2.48	2.43	2.38	2.34
	4.35	3.49	3.10	2.87	2.71	2.60	2.52	2.45	2.40	2.35	2.31
	4.32	3.47	3.07	2.84	2.68	2.57	2.49	2.42	2.37	2.32	2.28
	4.30	3.44	3.05	2.82	2.66	2.55	2.47	2.40	2.35	2.30	2.26
	4.28	3.42	3.03	2.80	2.64	2.53	2.45	2.38	2.32	2.28	2.24
	4.26	3.40	3.10	2.78	2.62	2.51	2.43	2.36	2.30	2.26	2.22
	4.24	3.38	2.99	2.76	2.60	2.49	2.41	2.34	2.28	2.24	2.20
	4.22	3.37	2.98	2.74	2.59	2.47	2.39	2.32	2.27	2.22	2.18
	4.21	3.35	2.96	2.73	2.57	2.46	2.37	2.30	2.25	2.20	2.16
	4.20	3.34	2.95	2.71	2.56	2.44	2.36	2.29	2.24	2.19	2.15
	4.18	3.33	2.93	2.70	2.54	2.43	2.35	2.28	2.22	2.18	2.14
	4.17	3.32	2.92	2.69	2.53	2.42	2.34	2.27	2.21	2.16	2.12
	4.15	3.30	2.90	2.67	2.51	2.40	2.32	2.25	2.19	2.14	2.10
	4.13	3.28	2.88	2.65	2.49	2.38	2.30	2.23	2.17	2.12	2.08
	4.11	3.26	2.86	2.63	2.48	2.36	2.28	2.21	2.15	2.10	2.06
	4.10	3.25	2.85	2.65	2.46	2.35	2.26	2.19	2.14	2.09	2.05
	4.08	3.23	2.84	2.61	2.45	2.34	2.25	2.18	2.12	2.07	2.04
	4.07	3.22	2.83	2.59	2.44	2.32	2.24	2.17	2.11	2.06	2.02
	4.06	3.21	2.82	2.58	2.43	2.31	2.23	2.16	2.10	2.05	2.01
	4.05	3.20	2.81	2.57	2.42	2.30	2.22	2.14	2.09	2.04	2.00
	4.04	3.19	2.80	2.56	2.41	2.30	2.21	2.14	2.08	2.03	1.99
	4.03	3.18	2.79	2.56	2.40	2.29	2.20	2.13	2.07	2.02	1.98
	4.02	3.17	2.78	2.54	2.38	2.27	2.18	2.11	2.05	2.00	1.97

Продолжение приложения 1

k 2	k 1
										∞
	19.41	19.42	19.43	19.44	19.45	19.46	19.47	19.47	19.48	19.49	19.50
	8.74	8.71	8.69	8.66	8.64	8.62	8.60			8.56	8.53
	5.91	5.87	5.84	5.80	5.77	5.74	5.71	5.70	5.68	5.66	5.63
	4.68	4.64	4.60	4.56	4.53	4.50	4.46	4.44	4.42	4.40	4.36
	4.00	3.96	3.92	3.87	3.84	3.81	3.77	3.75	3.72	3.71	3.67
	3.57	3.52	3.49	3.44	3.41	3.38	3.34	3.32	3.29	3.28	3.23
	3.28	3.23	3.20	3.15	3.12	3.08	3.05	3.03	3.00	2.98	2.93
	3.07	3.02	2.98	2.93	2.90	2.86	2.82	2.80	2.77	2.76	2.71
	2.91	2.86	2.82	2.77	2.74	2.70	2.67	2.64	2.61	2.59	2.54
	2.79	2.74	2.70	2.65	2.61	2.57	2.53	2.50	2.47	2.45	2.40
	2.68	2.64	2.60	2.54	2.50	2.46	2.42	2.40	2.36	2.35	2.30
	2.60	2.55	2.51	2.46	2.42	2.38	2.34	2.32	2.28	2.26	2.21
	2.53	2.48	2.44	2.39	2.35	2.31	2.27	2.24	2.21	2.19	2.13
	2.48	2.43	2.39	2.33	2.29	2.25	2.21	2.18	2.15	2.12	2.07
	2.42	2.37	2.33	2.28	2.24	2.20	2.16	2.13	2.09	2.07	2.01
	2.38	2.33	2.29	2.23	2.19	2.15	2.11	2.08	2.04	2.02	1.96
	2.34	2.29	2.25	2.19	2.15	2.11	2.07	2.04	2.00	1.98	1.92
	2.31	2.26	2.21	2.15	2.11	2.07	2.02	2.00	1.96	1.94	1.88
	2.28	2.23	2.18	2.12	2.08	2.04	1.99	1.96	1.92	1.90	1.84
	2.25	2.20	2.15	2.09	2.05	2.00	1.96	1.93	1.89	1.87	1.81
	2.23	2.18	2.13	2.07	2.03	1.98	1.93	1.91	1.87	1.84	1.78
	2.20	2.14	2.10	2.04	2.00	1.96	1.91	1.88	1.84	1.82	1.76
	2.18	2.13	2.09	2.02	1.98	1.94	1.89	1.86	1.82	1.80	1.73
	2.16	2.11	2.06	2.00	1.96	1.92	1.87	1.84	1.80	1.77	1.71
	2.15	2.10	2.05	1.99	1.95	1.90	1.85	1.82	1.78	1.76	1.69
	2.13	2.08	2.03	1.97	1.93	1.88	1.84	1.80	1.76	1.74	1.67
	2.12	2.06	2.02	1.96	1.91	1.87	1.81	1.78	1.75	1.72	1.65
	2.10	2.05	2.00	1.94	1.90	1.85	1.80	1.77	1.73	1.71	1.64
	2.09	2.04	1.99	1.93	1.89	1.84	1.79	1.76	1.72	1.69	1.62
	2.07	2.02	1.97	1.91	1.86	1.82	1.76	1.74	1.69	1.67	1.59
	2.05	2.00	1.95	1.89	1.84	1.80	1.74	1.71	1.67	1.64	1.57
	2.03	1.98	1.93	1.87	1.82	1.78	1.72	1.69	1.65	1.62	1.55
	2.02	1.96	1.92	1.85	1.80	1.76	1.71	1.67	1.63	1.60	1.53
	2.00	1.95	1.90	1.84	1.79	1.74	1.69	1.66	1.61	1.59	1.51
	1.99	1.94	1.89	1.82	1.78	1.73	1.68	1.64	1.60	1.57	1.49
	1.98	1.92	1.88	1.81	1.76	1.72	1.66	1.63	1.58	1.56	1.48
	1.97	1.91	1.87	1.80	1.75	1.71	1.65	1.62	1.57	1.54	1.46
	1.96	1.90	1.86	1.79	1.74	1.70	1.64	1.61	1.56	1.53	1.45
	1.95	1.90	1.85	1.78	1.74	1.69	1.63	1.60	1.55	1.52	1.44
	1.93	1.88	1.83	1.76	1.72	1.67	1.61	1.58	1.52	1.50	1.41

Продолжение приложения 1

k 2	k 1
	4.00	3.15	2.76	2.52	2.37	2.25	2.17	2.10	2.04	1.99	1.95
	3.99	3.14	2.75	2.51	2.36	2.24	2.15	2.08	2.02	1.98	1.94
	3.98	3.13	2.74	2.50	2.35	2.23	2.14	2.07	2.01	1.97	1.93
	3.96	3.11	2.72	2.48	2.33	2.21	2.12	2.05	1.99	1.95	1.91
	3.94	3.09	2.70	2.46	2.30	2.19	2.10	2.03	1.97	1.92	1.88
	3.92	3.07	2.68	2.44	2.29	2.17	2.08	2.01	1.95	1.90	1.86
	3.91	3.06	2.67	2.43	2.27	2.16	2.07	2.00	1.94	1.89	1.85
	3.89	3.04	2.65	2.41	2.26	2.14	2.05	1.98	1.92	1.87	1.83
	3.86	3.02	2.62	2.39	2.23	2.12	2.03	1.96	1.90	1.85	1.81
	3.85	3.00	2.61	2.38	2.22	2.10	2.02	1.95	1.89	1.84	1.80
∞	3.84	2.99	2.60	2.37	2.21	2.09	2.01	1.94	1.88	1.83	1.79

k 2	k 1
										∞
	1.92	1.86	1.81	1.75	1.70	1.65	1.59	1.56	1.50	1.48	1.39
	1.90	1.85	1.80	1.73	1.68	1.63	1.57	1.54	1.49	1.46	1.37
	1.89	1.84	1.79	1.72	1.67	1.62	1.56	1.53	1.47	1.45	1.35
	1.89	1.82	1.77	1.70	1.65	1.60	1.54	1.51	1.45	1.42	1.32
	1.85	1.79	1.75	1.68	1.63	1.57	1.51	1.48	1.42	1.39	1.28
	1.83	1.77	1.72	1.65	1.60	1.55	1.49	1.45	1.39	1.36	1.25
	1.82	1.76	1.71	1.64	1.59	1.54	1.47	1.44	1.37	1.34	1.22
	1.80	1.74	1.69	1.62	1.57	1.52	1.45	1.42	1.35	1.32	1.19
	1.78	1.72	1.67	1.60	1.54	1.49	1.42	1.38	1.32	1.28	1.13
	1.76	1.70	1.65	1.58	1.53	1.47	1.41	1.36	1.30	1.26	1.08
∞	1.75	1.69	1.64	1.57	1.52	1.46	1.40	1.35	1.28	1.24	1.00

Приложение 2

Вероятности t-распределения (Стьюдента) для значений от -t_α до +t_α

α k	0,200	0,100	0,050	0,025	0,010	0,005	0,001
	3,078	6,314	12,706	25,452	63,657	127,32	637,0
	1,886	2,920	4,303	6,205	9,925	14,089	31,598
	1,638	2,353	3,182	4,176	5,841	7,453	12,941
	1,533	2,132	2,776	3,495	4,604	5,598	8,610
	1,476	2,015	2,571	3,163	4,032	4,773	6,859
	1,440	1,943	2,447	2,969	3,707	4,317	5,959
	1,415	1,895	2,365	2,841	3,499	4,029	5,405
	1,397	1,860	2,306	2,752	3,355	3,832	5,041
	1,383	1,833	2,262	2,685	3,250	3,690	4,781
	1,372	1,812	2,228	2,634	3,169	3,581	4,587
	1,363	1,796	2,201	2,593	3,106	3,497	4,437
	1,356	1,782	2,179	2,560	3,055	3,428	4,318
	1,350	1,771	2,160	2,533	3,012	3,372	4,221
	1,345	1,761	2,145	2,510	2,977	3,326	4,140
	1,341	1,753	2,131	2,490	2,947	3,286	4,073
	1,337	1,746	2,120	2,473	2,921	3,252	4,015
	1,333	1,740	2,110	2,458	2,878	3,222	3,965
	1,330	1,734	2,101	2,445	2,878	3,197	3,922
	1,328	1,729	2,093	2,433	2,861	3,174	3,883
	1,325	1,725	2,086	2,423	2,845	3,153	3,850
	1,323	1,721	2,080	2,414	2,831	3,135	3,819
	1,321	1,717	2,074	2,406	2,819	3,119	3,792
	1,319	1,714	2,069	2,398	2,807	3,104	3,767
	1,318	1,711	2,064	2,391	2,797	3,090	3,745
	1,316	1,708	2,060	2,385	2,787	3,078	3,725
	1,315	1,706	2,056	2,379	2,779	3,067	3,707
	1,314	1,703	2,052	2,373	2,771	3,056	3,690
	1,313	1,701	2,048	2,368	2,763	3,047	3,674
	1,311	1,699	2,045	2,364	2,756	3,038	3,659
	1,310	1,697	2,042	2,360	2,750	3,030	3,646
	1,303	1,684	2,021	2,329	2,704	2,971	3,551
	1,296	1,671	2,00	2,299	2,660	2,915	3,460
	1,289	1,658	1,980	2,270	2,617	2,860	3,373
∞	1,2816	1,6448	1,9600	2,2414	2,5758	2,8070	3,2905

Приложение 3

Оперативная технологиче- ская информацмя (с при- боров щитов, пультов и т.д.)	→	Диаграммы приборов, контрольные листки, рабочие журналы	→	Расслоение	→	Диаграммы Парето	→	Сравнение выборок
				→	Контрольные карты
→	Временные ряды
Технический контроль	→		→	Гистограммы	→	Контрольные карты
→	Гистограммы	→	Индексы возможностей
Лабораторный контроль	→
	→	Корреляция	→	Уравнения регрессии	→	Оптимизация
		(Корреляционно-регрессионный анализ)
Экспертные оценки
Мозговая атака	→	→	Диаграммы Исикавы	→	Ранжирование	→	Диаграммы Парето
Анкеты	→
	→	Ранжирование	→	Ранговая корреляция	→	Конкордация
Интервью	→		(Формализация априорной информации)
Statistica 5.5 или 6	Компьютер- ные программы	Дисперсионный анализ Дискретный анализ Нейронные сети	Графические методы Кластерный анализ и др.

Схема связи статистических методов анализа

СОДЕРЖАНИЕ

Введение
1. Методы экспертных оценок
1.1. Мозговая атака
1.2. Причинно-следственная диаграмма (диаграмма Исикавы)
1.3. Ранжирование факторов
1.4. Диаграмма Парето
1.5. Формализация априорной информации
2. Методы обработки данных
2.1. Контрольный листок
2.2. Выборка и её характеристики
2.3. Обработка результатов измерений
2.4. Графические приёмы обработки данных
2.5. Расслоение
2.6. Сравнение выборок
2.7. Гистограммы
2.8. Временной ряд
2.9. Контрольные карты
2.10. Управление технологическим процессом
3. Корреляционно-регрессионный анализ
3.1. Диаграммы разброса (корреляционный анализ)
3.2. Регрессионный анализ
Заключение
Литература
Приложения

Дата добавления: 2014-10-15