Двоичная логарифмическая мера

Комбинаторная мера

Для лучшего понимания рассмотрим несколько простейших примеров.

Пример 1. Проведем опыт. Возьмем игральный кубик. Он имеет шесть сторон, на каждой из которых изображены числа от одного до шести.

Подбросим его. При бросании кубика выпадает одно из имеющихся на сторонах кубика число. Получившееся таким образом число - есть исход нашего опыта.

Подбрасывая игральный кубик сколь угодно раз, мы можем получить только шесть возможных чисел. Обозначим это как N = 6.

Этот пример позволяет перейти к понятию комбинаторной меры информации и дать следующее определение:

Комбинаторная мера информации N - это способ измерения количества информации путем оценки количества возможных комбинаций информационных элементов.

Поскольку в примере с игральным кубиком возможно только шесть вариантов исхода опыта, иными словами, шесть комбинаций, то и количество информации в соответствии с комбинаторной мерой составляет N = 6 комбинаций.

Рассмотрим следующий пример.

Пример 2. Пусть задана одна из десятичных цифр, например, цифра 8 и одна из шестнадцатеричных – к примеру, цифра 6 (можно было взять любую другую шестнадцатеричную - 8, В, F и т. д.). Теперь, в соответствии с определением комбинаторной меры, определим количество информации, заключенное в каждой из этих цифр. Поскольку цифра 8 является десятичной, а значит, представляет один символ из десяти, то N⁸= 10 комбинаций. Аналогично, цифра 6 представляет один из шестнадцати символов, а поэтому N⁶ = 16 комбинаций. Следовательно, что шестнадцатеричная цифра содержит больше информации, чем десятичная.

Из рассмотренного примера можно сделать вывод, что чем меньше цифр находится в основании системы счисления, тем меньше информации несет в себе один ее элемент.

Английский инженер Р. Хартли предложил измерять количество информации двоичной логарифмической мерой:

I = log₂N,

где N - количество различных комбинаций информационных элементов. Единицей измерения информации при таком измерении является бит.

Поскольку выведенная Р.Хартли формула учитывает количество возможных комбинаций N, то интересно узнать, какую оценку количества информации дает двоичная логарифмическая мера для рассмотренных выше примеров.

Подсчет дает следующие результаты:

в примере с кубиком I = log₂6 = 2,585 бит;

в примере с десятичной системой счисления I = log₂10 = 3,322 бит;

в примере с шестнадцатеричной системой счисления I = log₂16 = 4 бит;

в примере с двоичной системой счисления I = log₂2 = 1 бит.

Последняя цифра говорит о том, что в каждой цифре двоичной системы счисления содержится один бит информации. Вообще, в технических системах двоичная система счисления применяется для кодировки двух возможных состояний, например 1 обозначает наличие электрического тока в сети, 0 - его отсутствие.

Во всех рассмотренных выше примерах исходы опытов были равновероятными и взаимно независимыми. Это означает, что при подбрасывании кубика каждая из шести граней имеет одинаковую вероятность результативного исхода. А также, что результат следующего подбрасывания никак не зависит от результата предшествующего.

Равновероятные и взаимно независимые события в реальной жизни встречаются довольно редко. Если обратить внимание на разговорные языки, например русский, то можно сделать интересные выводы. Для упрощения теоретических исследований в информатике принято считать, что русский алфавит состоит из 32 символов (е и ё, а также ь и ъ между собой не различаются, но добавляется знак пробела между словами). Если считать, что каждая буква русского языка в сообщении появляется одинаково часто и после каждой буквы может стоять любой другой символ, то можно определить количество информации в каждом символе русского языка как:

I = log₂32 = 5.

Однако, фактически все бывает не так. Во всех разговорных языках одни буквы встречаются чаще, другие - гораздо реже. Исследования говорят, что на 1000 букв приходится следующее число повторений:

В русском языке:	В английском языке:
О 110, Е 87, А 75, И 75, Т 65, Н 65...	Е 131, Т 105, А 86, О 80, N 71, R 68...

Кроме того, вероятность появления отдельных букв зависит от того, какие буквы им предшествуют. Так, в русском языке после гласной не может следовать мягкий знак, не могут стоять четыре гласные подряд и так далее. Любой разговорный язык имеет свои особенности и закономерности. Поэтому количество информации в сообщениях, построенных из символов любого разговорного языка, нельзя оценивать ни комбинаторной, ни двоичной логарифмической мерами.

Дата добавления: 2014-10-17