Данные об объемах выпуска, затратах и прибыли

объемы и затраты	цены и прибыли
Y	C	AC	MC
				-250	-150	-50
		40,5		-40	+120
		40,1		-10
		40,3		-40
		41,7		-250
		42,9		-490	-150
				-1000	-600	-200
		46,5		-1440	-1000	-560

В случае же несовершенной конкуренции производитель может оказывать непосредственное влияние на цену. В особенности это относится к монопольному производителю товара, который формирует цену из соображения разумной рентабельности.

Рассмотрим фирму с линейной функцией издержек, которая определяет цену таким образом, чтобы прибыль составляла определенный процент (долю 0 < g < 1) от валового дохода, т.е.:

.

Отсюда имеем:

.

Валовый доход:

и производство оказывается безубыточным, начиная с самых малых объемов производства (). Легко видеть, что цена зависит от объема, т.е. p = p(y) и при увеличении объема производства (у) цена товара уменьшается, т.е. . Это положение имеет место для монополиста и в общем случае.

Требование максимизации прибыли для монополиста имеет вид:

Предполагая по-прежнему, что , имеем уравнение для нахождения оптимального выпуска ()

Полезно заметить, что оптимальный выпуск монополиста (), как правило, не превосходит оптимального выпуска конкурентного производителя в формуле (*).

Более реалистичная (но также простая) модель фирмы используется для того, чтобы учесть ресурсные ограничения, которые играют очень большую роль в хозяйственной деятельности производителей. В модели выделяется один наиболее дефицитный ресурс (рабочая сила, основные фонды, редкий материал, энергия и т.п.) и предполагается, что фирма может его использовать не более, чем в количестве Q. Фирма может производить n различных продуктов. Пусть y₁,..., y_j,..., y_n искомые объемы производства этих продуктов; p₁,..., p_j,..., p_n - их цены. Пусть также q - цена единицы дефицитного ресурса. Тогда валовый доход фирмы равен

,

а прибыль составит

.

Легко видеть, что при фиксированных q и Q, задача о максимизации прибыли преобразуется в задачу максимизации валового дохода.

Предположим далее, что функция издержек ресурса для каждого продукта C_j(y_j), обладает теми же свойствами, которые были высказаны выше для функции С(у). Таким образом, и .

В окончательном виде модель оптимального поведения фирмы с одним ограниченным ресурсом следующая:

Нетрудно видеть, что в достаточно общем случае решением этой оптимизационной задачи находится путем исследования системы уравнений:

(**)

где l - множитель Лагранжа.

Заметим, что соотношение является по существу аналогом отмеченного выше совпадения в оптимальной точке маргинального дохода и маргинальных издержек. В случае квадратичных функций издержек из системы (**) имеем:

(***).

Заметим, что оптимальный выбор фирмы зависит от всей совокупности цен на продукты (p₁,...,p_n); причем этот выбор является однородной функцией системы цен, т.е. при одновременном изменении цен в одинаковое количество раз оптимальные выпуски не изменяются. Нетрудно видеть также, что из (***) следует, что при увеличении цены на продукт j (при неизменных ценах на другие продукты) его выпуск следует увеличить с целью получения максимальной прибыли, т.е.:

,

а производство остальных товаров уменьшится, т.е.

.

Эти соотношения в совокупности показывают, что в данной модели все продукты являются конкурирующими. Из формулы (***) вытекает также очевидное соотношение:

,

т.е. при увеличении объема ресурса (капиталовложений, рабочей силы и т.п.) оптимальные выпуски увеличиваются.

В заключение параграфа приведем ряд простых примеров, которые помогут лучше понять правило оптимального выбора фирмы по принципу максимума прибыли:

1) пусть n = 2; p₁ = p₂ = 1; a₁ = a₂ = 1; Q = 0.5; q = 0.5.

Тогда из (***) имеем:

2) пусть теперь все условия остались прежними, но удвоилась цена на первый продукт: p₁ = 2.

Тогда оптимальный по прибыли план фирмы:

Ожидаемая максимальная прибыль заметно возрастает:

3) заметим, что в предыдущем примере 2, фирма должна изменить объемы производств, увеличив производство первого и уменьшив производство второго продукта. Предположим, однако, что фирма не гонится за максимальной прибылью и не станет менять налаженное производство, т.е. выберет программу y₁=0.5; y₂ = 0.5.

Оказывается, что в этом случае прибыль составит П = 1.25. Это означает, что при повышении цен на рынке фирма может получить значительное увеличение прибыли без изменения плана выпуска.

Методы учета научно-технического прогресса

Общепризнанным следует считать тот факт, что с течением времени на предприятии, сохраняющем фиксированную численность работников и постоянный объем основных фондов, выпуск продукции увеличивается. Это означает, что помимо обычных производственных факторов, связанных с затратами ресурсов, существует фактор, который обычно называют научно-техническим прогрессом (НТП). Этот фактор можно рассматривать как синтетическую характеристику, отражающую совместное влияние на экономический рост многих существенных явлений, среди которых нужно отметить следующие:

а) улучшение со временем качества рабочей силы, вследствие повышения квалификации работников и освоения ими методов использования более совершенной техники;

б) улучшение качества машин и оборудования приводит к тому, что определенная сумма капитальных вложений (в неизменных ценах) позволяет по прошествии времени приобрести более эффективную машину;

в) улучшение многих сторон организации производства, в т.ч. улучшение снабжения и сбыта, банковских операций и других взаимных расчетов, развитие информационной базы, образование различного рода объединений, развитие международной специализации и торговли и т.п.

В связи с этим, термин “научно-технический прогресс” можно интерпретировать как совокупность всех явлений, которые при фиксированных количествах затрачиваемых производственных факторов дают возможность увеличить выпуск качественной, конкурентоспособной продукции. Весьма расплывчатый характер такого определения приводит к тому, что исследование влияния НТП проводится лишь как анализ того дополнительного увеличения продукции, которое не может быть объяснено чисто количественным ростом производственных факторов. Главный подход к учету НТП сводится к тому, что в совокупность характеристик выпуска или затрат вводится время (t) как независимый производственный фактор, и рассматривается преобразование во времени либо производственной функции, либо технологического множества.

Остановимся на способах учета НТП путем преобразования производственной функции (ПФ), причем за основу примем двухфакторную ПФ.

y= f(K,L),

где в качестве производственных факторов выступают капитал (К) и труд (L). Модифицированная ПФ в общем случае имеет вид:

y= f(K,L,t),

причем выполняется условие:

которое и отражает факт роста производства во времени при фиксированных затратах труда и капитала. Геометрическая иллюстрация такого процесса дана на рис.6.13, где показано, что изокванта, соответствующая выпуску продукции в объеме Q, смещается с течением времени (t₂>t₁) вниз и налево.

Рис. 6.13. Рост производства во времени при фиксированных затратах труда и капитала

При разработке конкретных модифицированных ПФ обычно стремятся отразить характер НТП в наблюдаемой ситуации. При этом различают четыре случая:

а) существенное улучшение со временем качества рабочей силы позволяет добиться прежних результатов с меньшим количеством занятых; подобный вид НТП часто называют трудосберегающим. Модифицированная ПФ имеет вид:

y= f(K, l(t)L),

где монотонная функция l(t) характеризует рост производительности труда;

б) преимущественное улучшение качества машин и оборудования повышает фондоотдачу, имеет место капиталосберегающий НТП и соответствующая ПФ следующая:

y= f(k(t)K,L),

где возрастающая функция k(t) отражает изменение фондоотдачи;

в) если имеет место значительное влияние обеих упомянутых явлений, то используется ПФ в форме:

y= f(k(t)K,l(t)L);

г) если же нет возможности выявить влияние НТП на производственные факторы, то применяется ПФ в виде:

y= a(t) f(K,L),

где a(t) - возрастающая функция, выражающая рост продукции при неизменных значениях затрат факторов.

Для исследования свойств и особенностей НТП используется некоторые соотношения между результатами производства и затратами факторов. К их числу относятся:

а) средняя производительность труда

б) средняя фондоотдача

в) коэффициент фондовооруженности работника

г) равенство между уровнем оплаты труда и предельной (маргинальной) производительности труда

д) равенство между предельной фондоотдачей и нормой банковского процента

Говорят, что НТП является нейтральным, если он не изменяет с течением времени определенных связей между приведенными величинами.

Рассмотрим далее три случая.

1) прогресс называется нейтральным по Хиксу, если в течение времени остается неизменным соотношение между фондовооруженностью (x) и предельной нормой замены факторов (w/r). В частности, если w/r= const, то замена труда на капитал и наоборот не принесет никакой выгоды и фондовооруженность также останется постоянной. Можно показать, что в этом случае модифицированная ПФ имеет вид:

y= a(t)f(K,L),

и нейтральность по Хиксу эквивалентна рассмотренному выше влиянию НТП непосредственно на выпуск продукции. В рассматриваемой ситуации изокванта с течением времени смещается налево вниз путем преобразования подобия, т.е. остается в точности той же формы, что и в исходном положении;

2) прогресс называется нейтральным по Харроду, если в течение рассматриваемого периода времени норма банковского процента (r) зависит лишь от фондоотдачи (k), т.е. на нее не влияет НТП. Это означает, что предельная фондоотдача установлена на уровне нормы процента и дальнейшее увеличение капитала нецелесообразно. Можно показать, что такой тип НТП соответствует производственной функции

y= f(K,l(t)L),

т.е. технический прогресс является трудосберегающим;

3) прогресс является нейтральным по Солоу, если сохраняется неизменным равенство между уровнем оплаты труда (w) и предельной производительностью труда и дальнейшее увеличение затрат труда невыгодно. Можно показать, что в этом случае ПФ имеет вид:

y= f(k(t)K,L),

т.е. НТП оказывается фондосберегающим. Дадим графическое представление трех типов НТП на примере линейной производственной функции:

y= bK + cL (b>0, c>0).

В случае нейтральности по Хиксу имеем модифицированную ПФ:

y= a(t) (bK+cL),

где a(t) - возрастающая функция t. Это означает, что с течением времени изокванта Q (отрезок прямой АВ) смещается к началу координат параллельным переносом (рис. 6.14) в положение A₁B₁.

Рис. 6.14. Сдвиг изокванты при нейтральном НТП по Хиксу

В случае нейтральности по Харроду модифицированная ПФ имеет вид:

y= bK + cl(t)L,

где l(t) - возрастающая функция.

Очевидно, что с течением времени точка А остается на месте и изокванта смещается к началу координат при помощи поворота в положение AB₁ (рис. 6.15).

Рис. 6.15. Сдвиг изокванты при трудосберегающем НТП

Для прогресса, нейтрального по Солоу, соответствующая модифицированная ПФ:

y= bk(t)K + cL,

где k(t) - возрастающая функция. Изокванта смещается к началу координат, но точка В не сдвигается, и происходит поворот в положение A₁B (рис. 6.16).

Рис. 6.16. Сдвиг изокванты при фондосберегающем НТП

При построении моделей производства с учетом НТП в основном используются следующие подходы:

а) представление об экзогенном (или автономном) техническом прогрессе, который существует также в том случае, когда основные производственные факторы не изменяются. Частным случаем такого НТП является нейтральный прогресс по Хиксу, который обычно учитывается с помощью экспоненциального множителя, например:

Здесь , характеризует темп НТП. Нетрудно видеть, что время здесь выступает как независимый фактор роста производства, однако при этом создается впечатление, что НТП происходит сам по себе, не требуя дополнительных затрат труда и капиталовложений;

б) представление о техническом прогрессе, овеществленным в капитале, связывает рост влияний НТП с ростом капитальных вложений. Для формализации этого подхода за основу берется модель прогресса нейтрального по Солоу:

y= f(k(t)K,L),

которая записывается в виде

где - основные фонды на начало периода,

- накопление капитала в течение периода, равное сумме инвестиций.

Очевидно, что, если инвестирование не производится, то , и увеличение выпуска продукции за счет НТП не происходит;

в) рассмотренные выше подходы к моделированию НТП обладают общей чертой: прогресс выступает как заданная экзогенно величина, которая влияет на производительность труда или фондоотдачу и посредством этого сказывается на экономическом росте.

Однако в долгосрочном плане НТП является и результатом развития, и, в значительной мере, его причиной. Поскольку именно экономическое развитие позволяет богатым обществам финансировать создание новых образцов техники, а затем уже пожинать плоды научно-технической революции. Поэтому вполне правомерен подход к НТП, как эндогенному явлению, вызванному (индуцированному) экономическим ростом.

Здесь выделяются два основных направления моделирования НТП:

1) модель индуцированного прогресса, основана на формуле:

y= f(k(t)K,l(t)L),

причем предполагается, что общество может распределять предназначенные для НТП инвестиции между его различными направлениями. Например, между ростом фондоотдачи (k(t)) (улучшение качества машин) и ростом производительности труда (l(t)) (повышение квалификации работникам) и выбрать наилучшее (оптимальное) направление технического развития при данном объеме выделенных капитальных вложений.

2) Модель процесса обучения в ходе производства, предложенная К.Эрроу, основана на наблюдаемом факте взаимного влияния роста производительности труда и количества новых изобретений. В ходе производства работники приобретают опыт, и время на изготовление изделия уменьшается, т.е. производительность труда и сам трудовой вклад зависят от объема производства

В свою очередь рост трудового фактора согласно производственной функции y= f(K,L) приводит к росту производства. В простейшем варианте модели используются формулы:

(производственная функция Кобба-Дугласа).

Отсюда имеем соотношение:

которое при заданных функциях K(t) и L₀(t) показывает более быстрый рост y, обусловленный отмеченным выше взаимным влиянием НТП и экономического развития.

Пусть, например:

Тогда рост без учета взаимного влияния описывается уравнением:

а рост с учетом взаимного влияния уравнением:

или

,

т.е. оказывается существенно более быстрым.

Для линейной модели:

,

т.е. фондоотдача увеличивается.

лекция 11. Модели фирмы (производителя)

Издержки предприятия на производство продукции, задача их минимизации

Классификация издержек. Любое производство связано с затратами сырья, электроэнергии, рабочей силы, оборудования, земли и так далее. Без использования необходимых ресурсов невозможно создать новые блага.

Издержки производства – это совокупность расходов, которые несет предприниматель при обеспечении того или иного объема производства продукции и ее последующей реализации в определенный период времени. Издержки можно классифицировать по многим признакам.

Постоянные издержки (FC) – это издержки, величина которых в краткосрочном периоде не изменяется с увеличением или сокращением объема производства. К постоянным издержкам относятся издержки, связанные с использованием зданий и сооружений, машин и производственного оборудования, арендой, капитальным ремонтом, а также административные расходы. Они выплачиваются даже тогда, когда продукция вообще не выпускается.

Переменные издержки (VC) – это издержки, величина которых изменяется в зависимости от увеличения или уменьшения объема производства. К ним относятся затраты на сырье, электроэнергию, вспомогательные материалы, оплату труда.

Общие издержки (ТС) – это совокупность постоянных и переменных издержек фирмы в связи с производством продукции в краткосрочный период.

Каждому производителю необходимо знать средние издержки (т.е. издержки на производство единицы продукции), так как именно они сравнимы с ценой. Они имеют значение при определении прибыльности и убыточности производства.

Средние постоянные издержки (AFC) – это постоянные издержки на производство единицы продукции (FC/y). Поскольку с увеличением объема производства растет общая выручка, то средние постоянные издержки представляют собой все меньшую и меньшую величину.

Средние переменные издержки (AVC) – переменные издержки на производство единицы продукции (VC/y). Они достигают своего минимума, когда достигнут технологически оптимальный размер предприятия. Понятие средних переменных издержек необходимо для определения эффективности хозяйствования фирмы, положения равновесия и определения ближайших перспектив развития – расширения, сокращения производства или ухода из отрасли.

Средние общие издержки (АТС) – отношение общих издержек к объему выпускаемой продукции (ТС/у).

Предельные издержки (МС) – это приращение совокупных издержек, вызванное бесконечно малым увеличением производства (DТС/Dу). Когда МС<АТС, кривая средних издержек идет вниз: производство каждой новой единицы продукции уменьшает средние издержки. Когда МС>АТС, кривая средних издержек идет вверх: производство новой единицы продукции увеличивает средние издержки. Когда АТС=min, то МС=АТС. Кривая предельных издержек пересекает кривую средних переменных издержек и кривую средних общих издержек в точках их минимального значения.

Дадим понятие функции издержек. Функция издержек выражает зависимость между объемом произведенной продукции и минимально необходимыми затратами ее производства:

C=C (y). (6-1)

Для количественной характеристики зависимости общих затрат от объема выпускаемой продукции используется коэффициент эластичности затрат от выпуска (е_C,Q). Он показывает, на сколько процентов изменятся общие затраты при изменении выпуска на 1%:

е_C,Q =(DTC/Dy)*(y/TC) = MC/AC (6-2)

Для количественного определения затрат нужно знать цены услуг факторов производства. В общем виде, зависимость:

x=x(y) (6-3)

это зависимость объемов ресурсов от объема выпуска продукции. Такую функцию называют функцией производственных затрат ресурсов, а сами издержки

Z(y)=q₁*x₁(y)+q₂*x₂(y)+…+q_n*x_n(y) (6-4)

Рассмотрим случай, когда имеется два фактора производства: труд и капитал. Обозначим ставку заработной платы (цену труда) – r_L, а арендную плату за использование капитала в единицу времени – r_K. Тогда общие издержки (ТС) выпуска некоторого количества продукции равны:

TC = r_L*L+r_K*K (6-5)

Объемы применяемых факторов производства при заданном выпуске предопределены технологией, представляемой производственной функцией y=y(L,K). Поэтому L=L(y), K=K(y), а, следовательно, и TC=TC(y). Допустим, что технология производства характеризуется производственной функцией Кобба-Дугласа:

y=A*x₁^a1*x₂^a2*…*x_n^an, (6-6)

где А>0, 0<a_j<1, j=1,…,n (в нашем случае y=L^aK^1-a) (6-7)

(различные виды производственных функций подробнее будут рассмотрены в главе 2)

В краткосрочном периоде объем капитала фиксирован, и производственная функция в качестве аргумента содержит лишь количество применяемого труда. Чтобы при заданной технологии произвести у единиц продукции, требуется L=(y*K^1-a)^1/a единиц труда. Подставим это значение в формулу (6-5):

TC=r_L*(y*K^1-a)^1/a+r_K*K=TC (y) (6-8)

Предельные затраты при данной технологии, характеризующейся функцией Кобба-Дугласа, равны:

MC=r_L/a*(y/K)^(1-a)/a (6-9)

Средние постоянные издержки, средние переменные и средние общие издержки соответственно равны r_K*K/y, r_L*(y/K)^(1-a)/a и r_K*K/y+r_L*(y/K)^(1-a)/a .

Поскольку по определению функция затрат выражает зависимость между выпуском продукции и минимальными затратами на ее производство, то предварительно нужно найти такое сочетание труда и капитала, которое обеспечивает минимальные затраты на заданный выпуск. При заданной сумме общих производственных затрат ТС множество всевозможных сочетаний труда и капитала определено уравнением (6- 5) Решим его относительно К:

K=TC/r_K-(r_L/r_K)*L (6-10)

Уравнение (6-10) – это уравнение изокосты. Тангенс угла наклона изокосты равен соотношению цен на факторы, а ее отдаленность от начала координат определяется объемом производственных расходов. Все сочетания объемов труда и капитала, соответствующие точкам на изокосте и под ней, “по карману” производителю, а все комбинации обоих факторов, отмеченные точками выше изокосты, ему не доступны. Траектория точек касания изоквант (графиков производственных функций) и изокост указывает такое сочетание ресурсов, при котором затраты, необходимые для каждого из выпусков, минимальны. В точке касания наклон изокванты совпадает с наклоном изокосты. Таким образом, задача минимизации издержек сводится к следующему: необходимо найти такую изокосту, которая являлась бы касательной к заданной изокванте, т. е. нужно найти точку касания изокосты с наиболее удаленной изоквантой. Точка касания х^* и есть оптимальное решение. Эту задачу будем решать методом множителей Лагранжа.

Задача минимизации издержек

Для задачи минимизации издержек функция Лагранжа имеет вид:

F(x₁,x₂,…,x_n,l₁)=q₁*x₁+q₂*x₂+…+q_n*x_n+l₁*(y₀-f(x₁,x₂,…,x_n)), (6-11)

где q₁,q₂,…,q_n – цены соответственно ресурсов x₁,x₂,…,x_n

f(x₁,x₂,…,x_n)=y₀

x₁>=0, x₂>=0, …, x_n>=0

Далее получаем систему уравнений:

F/ x_j=q_j-l₁* f/ x_j=0, j=1,2,…,n (6-12)

F/ l₁=y₀-f(x₁,x₂,…,x_n)=0 или

f/ x_j=1/l₁*q_j, j=1,2,…,n; f(x₁,x₂,…,x_n)=y₀ (6-13)

В точке минимума получим:

Предельные производительности ресурсов пропорциональны их ценам (коэффициент пропорциональности равен 1/l^*₁), т.е.:

f / x_j=(1/l^*₁)*q_j; j=1,2,…,n; (6-14)

отношение предельных производительностей ресурсов равно отношению их цен, т.е.:

(f/ x_j):(f/ x_i)=q_j/q_i; j,i=1,2,…,n; j¹i; (6-15)

отношение предельных производительностей ресурсов к их ценам равны между собой, т.е.:

(f/ x_j):q_j=1/l^*₁, j=1,2,…,n (6-16)

Полученные соотношения составляют основу теории предельной производительности факторов производства как теории стоимости, а именно: цены ресурсов пропорциональны предельным производительностям ресурсов, в частности для труда имеем, что он оценивается в соответствии со своей предельной производительностью.

Дадим интерпретацию множителя Лагранжа. Имеем:

dZ=q₁*dx₁+q₂*dx₂+…+q_n*dx_n.

В точке минимума q_j=(l^*₁)*(f/ x_j), j=1,2,…,n, следовательно,

dZ=l^*₁((f/ x₁)*dx₁+(f/ x₂)*dx₂+…+(f/ x_n)*dx_n)=(l^*₁)*dy. (6-17)

Отсюда:

l^*₁=dZ/dy, (6-18)

т.е. l^*₁ есть общие предельные издержки на единицу дополнительной продукции.

Рассмотрим некоторые типы функций затрат ресурсов и издержек.

Пусть задана линейная неоднородная функция затрат ресурсов

x_j=a_j*y+b_j, j=1,2,…,n, a_j>0, b_j>0, j=1,2,…,n.

Тогда функция издержек имеет вид:

C(y)=a*y+b,

где a=åq_j*a_j, b=åq_j*b_j.

Если задана нелинейная функция затрат ресурсов x_j=j_j(y), j=1,2,…,n, то

C(y)=åq_j*j_j(y).

Задача максимизации объема выпуска продукции

Задача максимизации объема производства состоит в том, чтобы определить максимальный объем выпуска продукции при заданных затратах ресурсов. Математически она формулируется следующим образом:

Y=f(x₁,x₂,…,x_n)®max (6-19)

при условиях

q₁*x₁+q₂*x₂+…+q_n*x_n=C, (6-20)

x₁>=0, x₂>=0,…,x_n>=0 (6-21)

Геометрически это означает, что нужно найти изокванту производственной функции y=f(x₁,x₂), которая касалась бы заданной изокосты q₁*x₁+q₂*x₂=C.

Для каждой изокванты характерны следующие свойства:

· изокванта, лежащая выше и правее другой, соответствует большему количеству произведенной продукции;

· изокванты не пересекаются;

· в экономической области изокванты имеют отрицательный наклон, т.е. они обращены выпуклостью к началу координат.

Рассмотрим некоторые производственные функции, которые часто используются при анализе поведения производителя:

· Линейная производственная функция имеет вид:

y=a₁*x₁+a₂*x₂+…+a_n*x_n,

для которой а₁>0, a₂>0,…, a_n>0, т.е. предполагается линейная зависимость выпуска продукции от затрат факторов производства;

· Производственнная функция с постоянными параметрами. Такая функция задается соотношением:

y=min(x₁/a₁,x₂/a₂,…,x_n/a_n), где a₁>0, a₂>0,…, a_n>0;

· Производственная функция Кобба-Дугласа. Фyнкция имеет вид y=A_*x₁^a1_*x₂^a2_*…_*x_n^an, где A>0, 0<a_j<1, j=1,2,…,n (именно этот тип производственных функций будет рассмотрен в качестве примера в моей курсовой);

· Производственная функция с постоянной эластичностью замены (CES). Такая функция имеет вид:

y=A*(B₁*x₁^-p+…+B_n*x_n^-p)^-g/p, для которой A>0, 0<B_j<1, j=1,2,…,n..

Задачу максимизации объема выпуска продукции будем решать также методом множителей Лагранжа.

Функция Лагранжа данной задачи будет иметь вид:

F(x₁,x₂,…,x_n,l₂)=f(x₁,x₂,…,x_n)+l₂*(C-åq_i*x_i).

Условиями оптимальности будут:

F/ x_j= f/ x_j-l₂*q_j=0, j=1,2,…,n;

F/ l₂=C-åq_i*x_i=0

или

f/ x_j=l₂*q_j, j=1,2,…,n; åq_i*x_i=C (6-22)

В точке максимума х^* будут иметь место соотношения, аналогичные соответственным соотношениям в задаче минимизации издержек, а именно:

· предельные производительности ресурсов пропорциональны их ценам с коэффициентом пропорциональности l^*₂, т.е.:

f/ x_j=(l^*₂)*q_j, j=1,2,…,n;

· отношение предельных производительностей ресурсов равно отношению их цен, т.е.

(f/ x_j): (f/ x_i)=q_j:q_i; j,i=1,2,…,n, j¹i;

· отношение предельных производительностей ресурсов к их ценам равны между собой, т.е.

(f/ x_j)=l^*₂, j=1,2,…,n.

Определим экономический смысл множителя l^*₂. Полный дифференциал производственной функции будет:

dy=(f/ x₁)*dx₁+(f/ x₂)*dx₂+…+(f/ x_n)*dx_n. (6-23)

Так как в точке максимума х^* имеет место соотношение:

f/ x_j=(l^*₂)*q_j (j=1,2,…,n), то

dy=(l^*₂)*(q₁*dx₁+q₂*dx₂+…+q_n*dx_n)=(l^*₂)*dZ=(l^*₂)*dC. (6-24)

Отсюда получаем dy/dZ=dy/dC=l^*₂. (6-25)

Таким образом, l^*₂ выражает дополнительный выпуск продукции в расчете на единицу общих затрат, т.е. он выражает общую предельную производительность ресурсов.

Таким образом, можно заключить, что l^*₁ и l^*₂ для рассматриваемых задач по смыслу взаимообратные. Поэтому указанные две задачи называют взаимными задачами для производителя.

Если в качестве С в задаче максимизации выпуска продукции взять Z^*=Z_min, полученный в задаче минимизации издержек при у=у₀, то максимальный объем выпуска продукции у^*=у₀, l^*₂=1/l^*₁, а точки оптимума совпадают.

Заключение

Технологическая связь между выпуском продукции и затратами задается функцией y=f(x)=f(x₁,x₂,…,x_n), зависящей от n переменных, которую называют производственной функцией. А функцию С(y)=Z_min(y)=åq_i*x^*_i(y) называют функцией издержек.

Задача минимизации издержек на производство продукции:

Z=åq_i*x_i®min

и задача максимизации объема выпуска продукции:

y=f(x₁,x₂,…,x_n)®max

являются взаимными задачами для производителя.

Причем в точке оптимума как издержек, так и объема выпуска продукции наблюдаются следующие соотношения:

Ø предельные производительности ресурсов пропорциональны их ценам;

Ø отношение предельных производительностей ресурсов равно отношению их цен;

Ø отношение предельных производительностей ресурсов к их ценам равны между собой.

Геометрическое решение задачи определения максимально возможного выпуска при имеющихся у производителя денежных средствах, представленных изокостой, и заданной производственной функции, представленной семейством изоквант, состоит в следующем: нужно найти точку касания изокосты с наиболее удаленной изоквантой.

Контрольные вопросы к теме

1. Как определяется производственная функция.

2. Что такое технологическое множество.

3. Какие типы производственных функций вы знаете.

4. Дайте определение предельного продукта.

5. Как определяются средняя ресурсоотдача и ресурсоемкость.

6. Изокванта и ее свойства.

7. Изокоста и ее свойства.

8. Как определяются функции предложения.

9. Дайте классификацию издержек производства.

10. Как учитывается научно-технический прогресс при моделировании производства.

Дата добавления: 2014-10-17