Означення

Наприклад

звичайні диференціальні рівняння

- диференціальне рівняння у частинних похідних з невідомою функцією .

Порядком диференціального рівняння називається найвищий порядок похідної, що входить в диференціальне рівняння.

Наприклад рівняння - першого порядку

- другого порядку

- третього порядку

Якщо рівняння (1.1) розв’язується відносно найвищої похідної, то

отримаємо рівняння у нормальній формі

(1.2)

Процес знаходження розв’язку диференціального рівняння називається інтегруванням рівняння.

Означення

Розв’язком (або інтегралом) диференціального рівняння (1.1), (1.2) називається будь-яка функція , визначена на деякому інтервалі (а; b), яка разом зі своїми похідними перетворює це рівняння у вірну тотожність. (При цьому похідні функції існують). Наприклад

1) Довести, що функція , яка визначена на усій числовій прямій, є розв’язком диференціального рівняння

2) Довести, що функція , яка задана у неявному вигляді , є розв’язком рівняння

Якщо функція, яка є розв’язком диференціального рівняння, визначена у неявному вигляді , то називається інтегралом (а не розв’язком) диференціального рівняння. Так у першому прикладі маємо розв’язок , а у другому прикладі – інтеграл заданих диференціальних рівнянь.

Розв’язку (або інтегралу) диференціального рівняння (1.1) або (1.2) на площині OXY відповідає графік, який називається інтегральною кривою.

Означення

Загальним розв’язком диференціального рівняння (1.1), (1.2) називається розв’язок, який залежить від незалежної змінної та такого числа довільних сталих, яким є порядок диференціального рівняння і позначається .

З геометричної точки зору загальний розв’язок - - це сім’я інтегральних кривих. На практиці дуже часто потрібно знайти розв’язок диференціального рівняння (1.1) або (1.2), який задовольняє умовам:

(1.3)

Умови (1.3) називаються початковими умовами.

Означення

Частинним розв’язком диференціального рівняння (1.1), (1.2) називається розв’язок, який дістають із загального при конкретних значеннях за допомогою початкових умов (1.3).

Задача знаходження частинного розв’язку по загальному при заданих початкових умовах (1.3) називається задачею Коші.

Теорема Коші (про існування та єдиність розв’язку).

Якщо права частина диференціального рівняння , неперервна в деякій області , то диференціальне рівняння має розв’язок на інтервалі (a;b), що містить таке , що

Якщо в області будуть неперервні ще й частинні похідні цієї функції за аргументами , то розв’язок єдиний.

Загальний розв’язок – функція задовольняє умовам:

1. При довільному вона є розв’язком;

2. Для довільних можна знайти значення довільних сталих

, що будуть виконані початкові умови (1.3).

У диференціального рівняння може існувати розв’язок (інтеграл), який неможливо отримати з загального розв’язку ні при яких значеннях довільних сталих . Такий розв’язок називається особливим.

Диференціальне рівняння першого порядку (загальні поняття).

Розглянемо рівняння , з якого треба знайти функцію , яка задовольняє умові .

; підставимо Відповідь:

Означення

Диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду яке зв’язує незалежну змінну , шукану функцію та її похідну .

Якщо це рівняння можна розв’язати відносно , то воно має нормальний вид: (1.4)

Для рівняння (1.4) справедлива теорема Коші (про існування та єдиність розв’язку).

Якщо в рівнянні функція та частинна похідна неперервні в деякій області на площині , яка містить деяку точку , то існує єдиний розв’язок цього рівняння , який задовольняє умові .

Умова називається початковою умовою ().

Означення

Загальним розв’язком диференціального рівняння першого порядку називається функція , яка залежить від та однієї довільної сталої і задовольняє умовам:

1. задовольняє диференціальному рівнянню при довільному (конкретному) значенні .

2. Яка б не була початкова умова , завжди можна знайти таке значення довільної сталої , що функція буде задовольняти початковій умові.

При знаходженні загального розв’язку диференціального рівняння можливо прийти до співвідношення виду . Але виразити в елементарних функціях не завжди вдається. В таких випадках загальний розв’язок залишається у неявному виді, а співвідношення виду , яке неявно задає загальний розв’язок, називається загальним інтегралом диференціального рівняння.

Означення

Частинним розв’язком диференціального рівняння називається розв’язок, який отримується з загального розв’язку при конкретному значенні сталої .

З геометричної точки зору загальний розв’язок диференціального рівняння визначає на площині сім’ю інтегральних кривих.

Задача знаходження частинного розв’язку диференціального рівняння за його загальним розв’язком при заданій початковій умові називається задачею Коші.

З геометричної точки зору розв’язати задачу Коші означає: серед сім’ї інтегральних кривих вибрати ту одну, яка буде проходити через точку (рис.3).

Рисунок 3

Дата добавления: 2014-10-17