Общая часть. В декартовой (прямоугольной ) пространственной системе координат каждая плоскость определяется уравнением первой степени ( иначе линейным уравнением) и каждое

В декартовой (прямоугольной) пространственной системе координат каждая плоскость определяется уравнением первой степени (иначе линейным уравнением) и каждое уравнение первой степени определяет плоскость.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

3.1 Уравнение поверхности в прямоугольной системе координат

Литература: [3Д], гл. II § I, п. 1,2

[4Д], гл. II § 50, 60.

Уравнением данной поверхности (в прямоугольной системе координат) называется такое уравнение с тремя переменными, которому удовлетворяют координаты всех точек, принадлежащих этой поверхности,и не удовлетворяют координаты всех точек, не принадлежащих ей.

3.2 Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат

Литература: [3Д], гл. II § I, п. 2, 4, 5, § 3, п. 2, 4, 6,

[4Д], гл. I2 §§ 63, 64, 65.

Поэтому уравнение вида (1) называется общим уравнением плоскости.

Коэффициенты этого уравнения имеют определенный геометрический смысл. Всякий не равный нулю вектор, перпендикулярный к данной плоскости, назы-вается нормальным вектором этой плоскости.

Уравнение(2) определяет плоскость, проходя-щую через точку, перпендикулярно вектору. Если раскрыть скобки в этом уравнении и обозначить число, то получится урав-нение плоскости в виде (1). Значит, коэффициенты при неизвестных в уравнении плоскости - это координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости.

Рассмотрим частные случаи расположения плоскостей.

1. Коэффициент и уравнение плоскости имеет вид. Очевидным решением такого уравнения является решение. Значит, уравнение определяет плоскость, проходящую через точку О(0,0,0) (начало координат);
2. Коэффициент и уравнение плоскости имеет вид. Так как проекция нормального вектора на ось ОХ равна 0, то это возможно, если плоскость параллельна оси ОХ.

Аналогично, если коэффициент и уравнение плоскости имеет вид, то эта плоскость параллельна оси ОУ. Если уравнение имеет вид, т.е. коэффициент при равен 0, то это уравнение плоскости, параллельной оси. Вывод; отсутствие в уравнении какой-либо переменной свидетельствует о том, что эта плоскость параллельна оси, соответствующей этой переменной.

3. Коэффициенты и уравнение имеет вид. Плоскость па-раллельна осям ОХ и ОУ и, следовательно, параллельна плоскости ХОУ.

4. Коэффициенты и уравнение имеет вид. Плоскость па-раллельна плоскости ХОУ(так как). Кроме того, она проходит через точку О(0,0,0) (так как). Значит уравнение (или что то же) определяет саму плоскость ХОУ.

3.3 Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Составим уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, и.Возьмем на плоскости произвольную точку. Тогда векторы, и - компланарные. Условие компланарности векторов – их смешанное произведение равно нулю, т.е. или в координатной форме

(3) - уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, и.

3.4 Уравнение плоскости в отрезках

Составим уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, и.Согласно формуле (3) получаем. Раскрыв

O

определитель и преобразовав полученное выражение, имеем уравнение плоскости (4). Оно называется уравнением плоскости в отрезках, так как величины - это величины отрезков, отсекаемых плоскостью от координатных осей.

3.5 Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей

Угол между плоскостями и - это угол между их нормальными векторами и. Поэтому он может быть вычислен с помощью скалярного произведения векторов по формуле

(5).

Очевидно, если две плоскости параллельны, то их нормальные векторы коллинеарные. Отсюда вытекает условие параллельности плоскостей (6).

Аналогично, условие перпендикулярности плоскостей - это равенство нулю скалярного произведения их нормальных векторов, т.е. (7).

3.6 Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости определяется как проекция вектора, где точка - произвольная точка

этой плоскости, на направление нормального вектора, и поэтому вычисляется по формуле

(8)

Приведем примеры решения задач, использующих приведенные формулы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Пример 3.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и перпендикулярно плоскости.

Решение. Обозначим искомую плоскость и данную плоскость.

y ZXYueG1sTI9BT8MwDIXvSPyHyEjcWLKqDFSaToixM2KAxDFrTFtInCrJtvbfY7jAze/56flzvZ68 E0eMaQikYblQIJDaYAfqNLy+bK9uQaRsyBoXCDXMmGDdnJ/VprLhRM943OVOcAmlymjocx4rKVPb ozdpEUYk3n2E6E1mGTtpozlxuXeyUGolvRmIL/RmxIce26/dwWtIrnv8nN/msClsnDfb9I5Py1Lr y4vp/g5Exin/heEHn9GhYaZ9OJBNwrEuVyVHeVDXIDhQ3BRs7H8NBbKp5f8Xmm8AAAD//wMAUEsB Ai0AFAAGAAgAAAAhALaDOJL+AAAA4QEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVz XS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAOP0h/9YAAACUAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAvAQAAX3JlbHMv LnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAzcHVofMBAAD3AwAADgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL2Uy b0RvYy54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEARclBodsAAAAKAQAADwAAAAAAAAAAAAAAAABNBAAAZHJz L2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA8wAAAFUFAAAAAA== " strokecolor="#4579b8 [3044]"/>

Первый способ. Нормальный вектор плоскости вектор и вектор параллельны плоскости (см. рис.). Перпендикулярный им вектор дает их векторное произведение. Этот вектор - нормальный вектор искомой плоскости

.

В уравнении (2) плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору в качестве точки можно взять любую из точек или. Возьмем. Тогда уравнение искомой плоскости согласно формуле (2) имеет вид

или.

Замечание. Из ответа видно, что искомая плоскость параллельна оси (т.к. в ее уравнении коэффициент ).

Второй способ. Возьмем произвольную точкуна плоскости. Тогда векторы компланарные. Условие компланарности векторов – их смешанное произведение равно 0:. Раскрыв этот определитель, получаем уравнение искомой плоскости

. Откуда.

Пример 3.2. Убедиться, что плоскости и параллельны, найти расстояние между ними.

Нормальные векторы этих плоскостей и коллинеарные, так как их координаты пропорциональны. Значитплоскости параллельные (см. формулу 6).

Выберем произвольную фиксированную точку на первой плоскости. Две ее координаты будем считать нулевыми и, а третью найдем из уравнения плоскости, подставив в него значения первых двух:. Откуда. Расстояние между параллельными плоскостями – это расстояние от точки до второй плоскости, определяемое по формуле (8):

3.7 Уравнение прямой в пространственной системе координат

Литература: [ 3Д], гл. II § 2, п. 3,6, §32, п. 1

[ 4Д ], гл. I2 §§ 66-68.

Прямая в пространственной системе координат рассматривается как пересечение двух плоскостей и поэтому может быть задана системой уравнений этих плоскостей:

(9).

Система уравнений (1) называется общим уравнением прямой в пространстве.

Другие виды уравнения прямой:

а) параметрические уравнения (когда координаты точек прямой задаются как функции

одной и той же переменной, называемой параметром точки) (10).

Здесь координаты фиксированной точки, через которую проходит прямая, координаты направляющего вектора (любого вектора, параллельного прямой), переменная, называемая параметром точки;

в) каноническое уравнение прямой (11). Это символическое уравнение, получаемое из параметрического исключением параметра.

Если прямая проходит через две заданные точки и, то в качестве ее направляющего вектора можно взять вектор. И тогда согласно формуле (11) уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, имеет вид (12).

Пример 3.3. Составить каноническое и параметрические уравнения прямой, заданной общим уравнением.

Решение. Из общего уравнения прямой следует, что нормальные векторы плоскостей, пересечением которых получается эта прямая, имеют координаты и. Для составления уравнений (10) и (11) нужно иметь координаты любой фиксированной точки прямой и координаты направляющего вектора этой прямой. В качестве точки прямой возьмем точку -точку ее пересечения с какой-либо координатной плоскостью, например с плоскостью. Аппликата этой точки равна нулю (. Подставив это значение в общее уравнение прямой, получаем систему для определения других координат точки. Решая эту систему, находим. Значит.

Направляющий вектор можно найти как результат векторного произведения нормальных векторов и плоскостей, уравнения которых входят в общее уравнение прямой

. Согласно формуле (11) каноническое уравнение прямой имеет вид.

Ноль в знаменателе второй дроби свидетельствует о том, что прямая перпендикулярна оси.

Для получения параметрических уравнений прямой приравняем каждую из этих дробей параметру. Получим. Откуда.

Пример 3.4. Найти точку, симметричную точке, относительно прямой, проходящей через точки и.

Решение. Через точку проведем плоскость перпендикулярную прямой (см. рис). Точка - точка их пересечения. Точка - искомая точка. Ввиду симметрии.

Каноническое уравнение прямой согласно формуле (4)

. Откуда.

Перейдем к параметрическому уравнению этой прямой:.

Уравнение плоскости с нормальным вектором и проходящей через точку согласно формуле (2) имеет вид или после раскрытия скобок.

Координаты точки пересечения плоскости с прямой (т.е. точки) находим

решением системы из уравнений прямой и плоскости:. Отсюда или 14. Следовательно, для точки значение параметра. Тогда из параметрического уравнения получаем координаты точки:

Точка - срединная для отрезка. Поэтому. Из этих формул определяем координаты искомой точки:

Ответ:

Пример 3.5. Лежат ли прямые ив одной плоскости. Если да, то составить уравнение этой плоскости.

Решение. Исходя из геометрического смысла величин, входящих в каноническое и параметрического уравнений прямой заключаем, что первая прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор.

Вторая прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор.Очевидно, что прямые лежат в одной плоскости, если векторы компланарные, т.е. если их смешанное произведение равно нулю:. Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки одинаковы. Значит, прямые лежат в одной плоскости. Для составления уравнения этой плоскости находим ее нормальный вектор как векторное произведение.

Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору

или.

4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

4.1 Уравнение прямой на плоскости

Литература: [3Д ], гл. II § 2, п. 1,2, 3, 5, § 3, п.1,

[4Д], гл. I6,17,18,19,20.

В декартовой (прямоугольной) системе координат на плоскости каждая прямая определяется уравнением первой степени (иначе линейным уравнением) и каждое уравнение первой степени определяет прямую. В системе ХОУ общее уравнение прямой - это уравнение вида (13).

Частные случаи:

а) т.е.. Такая прямая проходит через начало координат;

в), т.е.. Это уравнение преобразуется к виду. Оно определяет прямую параллельную оси ОХ. Аналогично, уравнение или определяет прямую параллельную оси ОУ;

с). Эта прямая совпадает с осью ОХ. Аналогично, уравнение - это уравнение прямой, совпадающей с осью ОУ.

Если в общем уравнении (13), то разделив его на получим уравнение вида (14), которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. В нем. Коэффициент называется угловым коэффициентом, так как он равен тангенсу угла наклона прямой к оси ОХ (). Свободный член уравнения равен ординате точки пересечения прямой с осью ОУ и называется величиной смещения прямой вдоль оси ОУ.

Другие уравнения прямой:

а) уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент и проходящей через точку (15);

б) уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и

(16);

в) уравнение прямой в отрезках (17). Название уравнения связано с тем, что величины - это величины отрезков, отсекаемых прямой от координатных осей (т.е. прямая проходит через точки на осях и.

г) параметрические уравнения прямой (18). Здесь - координаты фиксированной точки, через которую проходит прямая, - координаты направляющего вектора прямой.

4.2 Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых

Пусть прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами и. Углом между прямой(1) и прямой (2) называется наименьший угол, на который нужно повернуть прямую (1) до ее совпадения с прямой (2).

Угол как внешний угол треугольника равен сумме внутренних с ним не смежных, т.е.. Откуда и. Так как согласно геометрическому смыслу угловых коэффициентов, то угол между прямой (1) и прямой (2) определяется по формуле

(19).

У параллельных прямых и поэтому. Поэтому условие параллельности прямых – равенство их угловых коэффициентов (20).

Условие перпендикулярности прямых (21)

Пример 3.6. Даны вершины треугольника, и. Точка делит сторону в отношении 2:1, считая от точки. Составить уравнение и найти длину перпендикуляра, опущенного из вершины на прямую.

Решение. Найдем координаты точки, используя формулы деления отрезка в данном отношении:

,.

Составим уравнение прямой как уравнение прямой, проходящей через две известные точки (формула 16):. Откуда. Согласно полученному уравнению угловой коэффициент прямой равен. Прямая перпендикулярна прямой. Поэтому ее угловой коэффициент согласно условию перпендикулярности прямых (формула 21) равен. Перпендикуляр, уравнение которого нужно составить, проходит через известную точку и имеет угловой коэффициент. Поэтому его уравнение (формула 15) имеет вид или.

Для определения расстояния от точки до прямой найдем координаты точки, решив систему из уравнений этой прямой и прямой. Получим Расстояние найдем как расстояние между двумя точками

.

Замечание. Расстояние можно находить иначе по формуле расстояния от точки до прямой (ее уравнение)

Пример 3.7. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и образующей с прямой угол 45º.

Решение. Очевидно, таких прямых будет две (см. рис.). Угловой коэффициент данной прямой находится из ее уравнения, приведенного к виду. Отсюда. Угловой коэффициент первой искомой прямой находится по формуле (19)

L

M

45º

45º

Из решения этого уравнения. Вторая искомая прямая перпендикулярна первой. Из условия перпендикулярности ее угловой коэффициент равен. Имея угловые коэффициенты прямых и точку, через которую они проходят, составляем их уравнения по формуле (15)

Уравнение одной прямой или. Уравнение второй прямой или.

РАЗДЕЛ I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

ГЛАВА 1. ЗАДАЧИ И ДЕЙСТВИЕ КОДЕКСА РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ ОБ АДМИНИСТРАТИВНЫХ ПРАВОНАРУШЕНИЯХ

Статья 1.1. Кодекс Республики Беларусь об административных правонарушениях*

Статья 1.2. Задачи Кодекса Республики Беларусь об административных правонарушениях

Статья 1.3. Разъяснение отдельных терминов Кодекса Республики Беларусь об административных правонарушениях

Статья 1.4. Действие Кодекса Республики Беларусь об административных правонарушениях в пространстве

Статья 1.5. Действие Кодекса Республики Беларусь об административных правонарушениях во времени

РАЗДЕЛ II. АДМИНИСТРАТИВНОЕ ПРАВОНАРУШЕНИЕ. АДМИНИСТРАТИВНАЯ ОТВЕТСТВЕННОСТЬ

ГЛАВА 2. АДМИНИСТРАТИВНОЕ ПРАВОНАРУШЕНИЕ

Статья 2.1. Понятие административного правонарушения

Статья 2.2. Оконченное административное правонарушение

Статья 2.3. Покушение на административное правонарушение

Статья 2.4. Соучастие в административном правонарушении

Статья 2.5. Совершение административного правонарушения повторно

Статья 2.6. Длящееся административное правонарушение

Статья 2.7. Совокупность административных правонарушений

Статья 2.8. Срок, по истечении которого физическое или юридическое лицо считается не подвергавшимся административному взысканию

ГЛАВА 3. ВИНА

Статья 3.1. Вина физического лица и ее формы

Статья 3.2. Совершение административного правонарушения умышленно

Статья 3.3. Совершение административного правонарушения по неосторожности

Статья 3.4. Вина в совершенном административном правонарушении, не связанном с наступлением последствий

Статья 3.5. Вина юридического лица

ГЛАВА 4. ПРИНЦИПЫ И УСЛОВИЯ АДМИНИСТРАТИВНОЙ ОТВЕТСТВЕННОСТИ

Статья 4.1. Административная ответственность

Статья 4.2. Принципы административной ответственности

Статья 4.3. Возраст, с которого наступает административная ответственность

Статья 4.4. Невменяемость

Статья 4.5. Деяния, влекущие административную ответственность по требованию

Статья 4.6. Ответственность несовершеннолетних

Статья 4.7. Ответственность военнослужащих и иных лиц, на которых распространяется действие дисциплинарных уставов или специальных положений о дисциплине

Статья 4.8. Ответственность индивидуального предпринимателя и юридического лица

ГЛАВА 5. ОБСТОЯТЕЛЬСТВА, ИСКЛЮЧАЮЩИЕ ПРИЗНАНИЕ ДЕЯНИЯ АДМИНИСТРАТИВНЫМ ПРАВОНАРУШЕНИЕМ

Статья 5.1. Необходимая оборона

Статья 5.2. Причинение вреда при задержании физического лица, совершившего преступление или административное правонарушение

Статья 5.3. Крайняя необходимость

Статья 5.4. Обоснованный риск

РАЗДЕЛ III. АДМИНИСТРАТИВНОЕ ВЗЫСКАНИЕ

ГЛАВА 6. ПОНЯТИЕ, ЦЕЛИ И ВИДЫ АДМИНИСТРАТИВНЫХ ВЗЫСКАНИЙ

Статья 6.1. Понятие и цели административного взыскания

Статья 6.2. Виды административных взысканий

Статья 6.3. Основные и дополнительные административные взыскания

Статья 6.4. Предупреждение

Статья 6.5. Штраф

Статья 6.6. Исправительные работы

Статья 6.7. Административный арест

Статья 6.8. Лишение специального права

Статья 6.9. Лишение права заниматься определенной деятельностью

Статья 6.10. Конфискация

Статья 6.11. Депортация

Статья 6.12. Взыскание стоимости предмета административного правонарушения

ГЛАВА 7. НАЛОЖЕНИЕ АДМИНИСТРАТИВНОГО ВЗЫСКАНИЯ

Статья 7.1. Общие правила наложения административного взыскания

Статья 7.2. Обстоятельства, смягчающие административную ответственность

Статья 7.3. Обстоятельства, отягчающие административную ответственность

Статья 7.4. Наложение административного взыскания при совершении нескольких административных правонарушений

Статья 7.5. Исчисление срока административного взыскания

Статья 7.6. Сроки наложения административного взыскания

Статья 7.7. Зачет времени задержания

Статья 7.8. Возложение обязанности возместить причиненный вред

Статья 7.9. Наложение административного взыскания при наличии обстоятельств, смягчающих административную ответственность

ГЛАВА 8. ОСНОВАНИЯ ДЛЯ ОСВОБОЖДЕНИЯ ОТ АДМИНИСТРАТИВНОЙ ОТВЕТСТВЕННОСТИ

Статья 8.1. Общие положения об освобождении от административной ответственности

Статья 8.2. Освобождение от административной ответственности при малозначительности правонарушения

Статья 8.3. Освобождение от административной ответственности с учетом обстоятельств, смягчающих ответственность

Статья 8.4. Освобождение от административной ответственности в связи с примирением с потерпевшим

Статья 8.5. Освобождение от административной ответственности военнослужащих и иных лиц, на которых распространяется действие дисциплинарных уставов или специальных положений о дисциплине

Статья 8.6. Освобождение от административного взыскания или замена административного взыскания более мягким вследствие болезни

Статья 8.7. Освобождение от административной ответственности жертв торговли людьми

Дата добавления: 2014-10-22