Решение типовых заданий

При решении типовых заданий 1 – 11 необходимо использовать методические пособия [1], [6]–[11], [13], а при решении типовых заданий 12 – 16 – методические пособия [2]–[5], [8]–[13].

1. Найти координаты вектора

Решение. Используя правила умножения вектора на число и сложения векторов, находим:

2. Проверить ортогональность векторов

Решение. Два вектора называются ортогональными , если угол между ними равен Условие ортогональности: скалярное произведение векторов равно нулю, Поскольку координаты векторов заданы в ортонормированном базисе, то скалярное произ-ведение векторов вычисляется по формуле:

Тогда находим:

Следовательно,

3. Проверить коллинеарность векторов

Решение. Два вектора называются коллинеарными , если угол между ними равен Условие коллинеарности: существует такое число , что , т.е. координаты векторов пропорциональны, причем при угол при ,Отметим, что векторное произведение векторов равно нулю, . Проверяем условие :

Следовательно,

4. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах, если

Решение. Площадь параллелограмма выражается через модуль векторного произведения векторов: Используя свойства линейности вектор-ного произведения, находим:

где учли, что

Отсюда, используя определение векторного произведения векторов, получим:

5. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах.

Решение. Площадь параллелограмма выражается через модуль векторного произведения векторов: где векторное произведение векторов вычисляется по формуле:

Тогда находим:

6. Проверить компланарность трех векторов

Решение. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Условие компланарнос-ти: смешанное произведение векторов равно нулю,

Поскольку координаты векторов заданы в правом ортонормиро-

ванном базисе, то находим:

Следовательно, векторы – компланарны.

7. Записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точки

Решение. Каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид:

Отсюда находим:

8. Записать уравнение плоскости с заданным вектором нормали , проходящей через точку

Решение. Уравнение плоскости с заданным вектором нормали, проходящей через точку имеет вид:

Находим:

Тогда получим:

9. Записать уравнение плоскости, проходящей через три точки

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через три точки

, имеет вид: Отсюда

находим:

10. Найти значение многочлена от матрицы

Решение. Запишем искомое значение: где – единичная матрица. Используя правила умножения матрицы на матрицу, находим:

Далее, используя правила умножения матрицы на число и сложения матриц,

получим:

11. Решить систему по формулам Крамера или методом Гаусса, если

Решение. Вычислим определитель системы:

Так как определитель системы равен нулю, то система вырожденная и, следовательно, формулы Крамера применить нельзя. Поэтому данную систему будем решать методом Гаусса. Для этого преобразуем расширенную матрицу системы к трапециевидному виду:

Отсюда следует, что полученной трапециевидной матрице соответствует система

эквивалентная исходной системе, и она совместная () и неопределенная (), причем базисный минор

Следовательно, – базисные неизвестные, а – свободная неизвестная. Совершая обратный ход метода Гаусса, находим решения системы:

Ответ запишем в виде вектора-решения:

12. Вычислить

Решение. Используя правила действия над комплексными числами, находим:

13. Найти производную сложной функции и записать ее дифференциал, если

Решение. Используя правила дифференцирования и таблицу производных,

находим:

14. Найти производную функции, заданной неявно уравнением

Решение. Используя правила дифференцирования и таблицу производных,

находим:

Из последнего равенства выражаем :

15. Найти производную функции, заданной параметрически системой

уравнений

Решение. Запишем производную в дифференциальной форме

Используя правила дифференцирования и таблицу производных, находим дифференциалы функций:

Тогда получим:

16. С помощью правила Лопиталя вычислить предел

Решение. Используя правило Лопиталя, вычисляем предел:

Литература

Дата добавления: 2014-10-31