Реактивний рух

Розглянемо рух тiла зі змінною масою. Мається на увазі не релятивістська залежність маси тiла вiд швидкості, оскільки мова йтиме про відносно повільний рух тiл, а зміна маси тiла за рахунок втрати чи поповнення ним речовини.

Один з прикладів такого руху - рух ракети. Ракета з великою швидкістю викидає речовину (гази), діючи на неї з великою силою. Речовина, що викидається, з такою ж, але протилежно направленою силою в свою чергу діє на ракету i надає їй прискорення в протилежному напрямі. Якщо зовнiшнiх сил немає, то імпульс системи "ракета - викинута речовина" не змінюється з часом.

Розглянемо загальний випадок, коли на ракету діють зовнiшнi сили. Нехай m(t) - маса ракети в довільний момент часу t, а - її швидкість. Імпульс ракети в цей момент часу дорівнює . Через час dt маса i швидкість одержать прирости i . Імпульс ракети тепер дорівнює . Імпульс газів, що утворилися за цей же час dt, дорівнює dm_{газ газ}, де dm_газ - маса газів, _газ - їх швидкість. Приріст імпульсу ракети дорівнює імпульсу рiвнодiйної зовнiшнiх сил (див. (2.12)):

(m + dm)( + d ) + dm_{газ газ} - m = dt.

Розкриємо дужки:

m + md + dm + dm·d + dm_{газ газ} - m = dt

Оскільки dt - мала величина (dt 0), то dm·d - нескінченно мала величина вищого порядку i її можна відкинути; dm_газ = - dm згідно закону збереження маси. Після перетворень одержимо:

md - dm( _газ - ) = dt

Різниця _газ - = _відн - це швидкість витікання газів відносно ракети; її називають швидкістю газової струмини (див.рис.2.3).

(Якщо ракету взяти за нерухому СВ то слід вважати що оточуюче середовище рухається зі швидкістю _{відн газ срр}; _{відн газ} ).

Отже:

= dt+ (2.16)

Розділимо (2.16) на dt:

(2.17)

За формою (2.17) співпадає з рівнянням другого закону Ньютона. Однак маса тут не постійна, а змінюється з часом. До зовнішньої сили додається член , який носить назву реактивної сили:

(2.18)

Якщо маса вiддiляється, то < 0 i вектор протилежний вектору _відн; якщо маса приєднується, то > 0 i вектор співпадає за напрямком з _відн.

Рівняння (2.17) i еквівалентне йому рівняння (2.16) називають рівнянням руху точки iз змінною масою або рівнянням Мещерського (Мещерський I.В. (1859 - 1935)).

Якщо = 0, то з (2.16) одержимо:

Нехай ракета рухається в напрямку, протилежному . Спроектуємо останню рiвнiсть на вісь OY (див. рис. 2.4):

mdv = - v_відн dm;

(2.19)

Будемо вважати, що v_відн стала; тодi розв`язування рівняння (2.19) спрощується:

(2.20)

Значення C визначимо з початкових умов (якщо
v₀ = 0, то початкова маса дорівнює m₀), якi пiдставимо в (2.20):

, звiдки .

Таким чином:
або . Остаточно:

(2.21)

(2.21) називають формулою Ціолковського (К.Е. Цiолковський (1857-1935)).

(Застосування (2.21) до польотів космічних ракет дає наступні значення відношень . При v_відн=1 км/c для v₁=8 км/c матимемо що нереально (потрібні кращі сорти палива). При v_відн=4 км/c (політ в одну сторону)).

Дата добавления: 2014-11-06