Решение типовых примеров для контрольной работы № 1 1 страница

ВВЕДЕНИЕ

Настоящее пособие предназначено для студентов заочного отделения. Пособие содержит образцы решения задач, задания для контрольных работ, вопросы к экзамену и список литературы.

При выполнении контрольных работ следует руководствоваться следующими указаниями.

1. Каждую работу следует выполнять в отдельной тетради, на обложке которой должны быть указаны фамилия и инициалы студентов, полный шифр, номер контрольной работы. Решения всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. Все вычисления (в том числе и вспомогательные) необходимо делать полностью. Чертежи и графики должны быть выполнены аккуратно и четко с указанием масштаба, координатных осей и других элементов чертежа. Объяснения к задачам должны соответствовать тем обозначениям, которые даны на чертеже.

2. После получения работы (как зачтенной, так и незачтенной) студент должен исправить в ней все отмеченные рецензентом недостатки. В случае незачета студент обязан в кратчайший срок выполнить все требования рецензента и представить работу на повторное рецензирование, приложив при этом первоначально выполненную работу.

4. Студент выполняет тот вариант контрольных работ, который совпадает с двумя последними цифрами его учебного шифра.

Задание № 1 Вычислить пределы

1) ; 2) ,

3) , 4) .

Решение.

1) .

2) , при подстановке вместо переменной х ее предельного значения 3 получается неопределенность вида . Для избавления от этого типа неопределенности в нашем случае представим квадратные трехчлены числителя и знаменателя в виде произведения линейных множителей, воспользовавшись известной формулой

ax ² + bx + c = a (x – x ₁)∙(x – x ₁),

где х ₁, х ₂ – корни квадратного трехчлена ax ² + bx + c.

У нас , так как дискриминант квадратного трехчлена а следовательно, х ₁ = 3, . Аналогично x ² – x – 6 = (x - 3)∙(x + 2).

Теперь условие примера можно переписать в другом виде и продолжить решение:

;

3) .

Здесь сталкиваемся с неопределенностью , избавиться от которой можно вынесением за скобки в числителе и знаменателе дроби старшей степени переменной:

;

4)

В данном случае для освобождения от неопределенности будем использовать первый замечательный предел и одно из его очевидных следствий:

; .

Решение примера будет выглядеть следующим образом:

Задание № 2 Найти производные функций

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

При решении всех последующих примеров на нахождение производных будут использованы известные правила дифференцирования суммы, разности, произведения, дроби и теорема о производной сложной функции:

а) ;

б) ;

в)

г) если задана сложная функция y = f (u), где u = j (x), то есть y = f (j (х)); если каждая из функций y = f (u) и u = j (x) дифференцируема по своему аргументу, то

Решение.

1) ,

2)

;

3)

;

4)

.

Задание № 3

Исследовать функцию и построить график

.

Решение.

1) Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента х,то есть

D (y): а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и ее график не имеет вертикальных асимптот.

2) Исследуем функцию на интервалы монотонности и экстремумы. С этой целью найдем ее производную и приравняем нулю:

.

Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки 1 рода х ₁ = - 5, х ₂ = - 1. Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению знака производной в них выявляем промежутки монотонности и наличие экстремума:

х		-5	(-5, -1)	-1
	+		—		+
f (x)		max		min

.

3) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю:

.

Итак, функция имеет одну критическую точку 2 рода
х = -3;. разобьем область определения полученной точкой на части, в каждой из которых установим знак второй производной:

x		-3
	—		+
f (x)		т.п.

Значение х = - 3 является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки

.

4) Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты

y = kx+b воспользуемся формулами

.

.

Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.

5) Для построения графика изобразим точки максимума

А ₁(- 5; 4), минимума А ₂(- 1 - 4), перегиба А ₃(-3; 0) и точку

А ₄(0; ). пересечения графика с осью Оу.

С учетом результатов предыдущих исследований построим кривую (см. рис. 2).

Рисунок2

Задания к контрольной работе № 1

Задание 1

Найти указанные пределы:

Задание № 2

Найти производные, пользуясь правилами и формулами дифференцирования:

Задание № 3

Исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления, начертить их графики.

Решение типовых примеров для контрольной работы № 2.

Задание № 1

1. Найти неопределенный интеграл

Решение. Применим подстановку , тогда и

;

2. Найти интеграл .

Решение. Применим подставку t =3 x ³ – 5.

Тогда ; , откуда

.

Задание № 2

Найти интеграл

Решение. Преобразуем знаменатель дроби, стоящей под знаком интеграла следующим образом:

x ² – 6 x +13 = x ² – 6 x + 9 + 4 = (x - 3)² + 2². Тогда после подстановки t = x - 3 получаем

причем, при вычислении интеграла воспользуемся заменой переменной z = t ²+4, тогда dz = 2 tdt, откуда

.

Итак, учитывая, что t = x – 3, имеем

.

Задание № 3

1. Найти интеграл .

Решение. Применим формулу интегрирования по частям

Положим

u = 3 x +7, dv = cos5 xdx,

тогда

du = 3 dx, .

Следовательно,

.

2. Найти интеграл .

Решение.

Положим

u = arctg 4 x, dv = dx,

тогда

v = x.

Отсюда

.

Применяя в последнем интеграле подстановку t = 1+16 x ²,

получаем, , следовательно,

.

Отсюда .

Задание № 4

Вычислить площадь, ограниченную параболами

y = 2 x ² – x – 2,

y = - x ² + x – 1.

Решение.

Найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого приравняем правые части их уравнений:

2 x ² – x – 2 = - x ² + x – 1. Отсюда 3 x ² – 2 x – 1 = 0, D = 4 + 4∙3 = 16,

Рисунок 3

,

Вычисление площади осуществляем по формуле:

,

где f ₁(x), f ₂(x) – кривые, ограничивающие фигуру (f ₂(x) ³ f ₁(x)).

В нашем случае

Задания к контрольной работе № 2

Задание №1

Найти неопределенные интегралы способом подстановки (методом замены переменной)

Задание №2

Дата добавления: 2014-11-25