Плоские электромагнитные волны в горизонтально-слоистой среде

Рассмотрим модель, в которой проводящая земля при z =0 граничит с одно­родной непроводящей атмосферой. Земля состоит из Nоднородных горизонтальных слоев с параметрами σ₁, d₁, σ₂, d₂,..., σ_N-1, d_N-1, σ_N (рис. 10.

Монохроматическое квазистационарное элек­тромагнитное поле в модели возбуждается вертикально падающей плоской волной.

Магнитная постоянная повсеместно равна μ₀= 4π·10^-7 Гн/м.

Векторы электрического и магнитного полей плоской электромагнитной волны в пределах каждого однородного слоя удовлетворяют одномерным уравнениям Гельмгольца:

(2.1)

(2.2)

при z_j-1+0 ≤ z ≤ z_j-0

где k_j = - волновое число j - го слоя; z_j = - глубина залегания подошвы j - го слоя, j = 1, 2,..., N-1.

Решения этих уравнений записываются в виде:

(z) = + ; (2.3)

(z) = + ; (2.4)

где , , , (j = 1, 2,..., N) -некоторые по­стоянные векторы.

Векторы электромагнитного поля в плоской волне всегда лежат в горизонтальной плоскости. Это означает, что векторы и имеют отличные от нуля лишь х -и y – компоненты, т.е.

= (E_x, Е_у, 0), = (Н_x, H_y, 0). (2.5)

Горизонтальные компоненты электрического поля в j - м слое в соответствии с (2.4) записываются:

Е_х(z) = + ; (2.5)

Е_y(z) = + ; (2.6)

при z_j-1 + 0 ≤ z ≤ z_j-0. Используя второе уравнение Максвелла для квазистационарного поля

rot = iωμ₀ (2.7)

для плоской электромагнитной волны получим:
H_x = - ; (2.8)

H_y = - ; (2.9)

Подставляя (2.5) в (2.9) и (2.6) в (2.8), получим:

H_x(z) = - ; (2.10)

H_y(z) = ; (2.11)

Таким образом, магнитное поле в каждом слое может быть выражено с помощью тех же констант , , что и электрическое поле.

Важное значение в модели Тихонова - Каньяра имеет понятие магнитотеллурического импеданса Z. Опреде­лим два типа импеданса Z_xyи Z_yx в соответствии с формулами:

Z_xy(z) = ; (2.12)

Z_yx(z) = ; (2.13)

Найдем связь магнитотеллурического импеданса с параметрами геоэлектрического разреза. Для этого подставим (2.5) и (2.9) в (2.12) получим:

Z_xy(z) = . (2.14)

Поделим числитель и знамена­тель (2.14) на :

Z_xy(z) = . (2.15)

Введем обозначение:

q_j = -ln , отсюда (2.16)

Тогда формула (2.15) примет вид:

Z_xy(z) = = . (2.17)

Неизвестные постоянные в (2.17) определяются исходя из граничных условий для векторов электромагнитного поля на границах раздела слоев.

Так как на горизонтальных плоскостях, разделяющих однородные слои, горизонтальные составляющие векторов непрерывны, то непрерывен и импеданс, т. е.

Z_xy(z_j-0) = Z_xy(z_j+0). (2.18)

Подставляя в левую часть (2.18) выражение (2.17), получим

= Z_xy(z_j+0). (2.19)

Откуда

q_j = ik_jz_j – arcth(). (2.20)

Подставляя найденное значение q_jв (2.17) и полагая в последней z = z_j-1+0. получаем

Z_xy(z_j-1+0) = - . (2.21)

Формула (2.21) описывает рекуррентные соотношения, связывающие магнитотеллурические импедансы на кровле (j + 1) - го и j - го слоев.

Для основания разреза (в слое с удельной электропроводностью σ_N) импедансы Z_xy и Z_yx имеют вид:

Z_xy(z) = = ; (2.22)

Z_yx(z) = - = ; (2.23)

В частности, при z = z_N-1+0

Z_xy(z_N-1+0) = . (2.24)

Подставляя (2.24) в формулу (2.21), описывающую рекуррентные соотношения, и переходя постепенно с более низкого слоя на более высокий, получим формулу для расчета импеданса на земной поверхности:

Z_xy(+0) = R_N. (2.25)

где R_N - приведенный импеданс слоистого разреза, определяемый в через гиперболический котангенс имеет вид:

R_N = cth(-ik₁d₁ + arcth( cth(-ik₂d₂ + arcth( cth(-ik₃d₃ +

….+ arcth ……))))). (2.26)

Эквивалентная формула для приведенного импеданса через гиперболический тангенс имеет вид:

R_N = th(-ik₁d₁ + arth( th(-ik₂d₂ + arth( th(-ik₃d₃ + ….+ arth ……))))). (2.27)

Аналогичные вычисления проведем и для импеданса Z_yx(+0), в результате получим:

Z_yx(+0) = R_N. (2.28)

Таким образом, в модели Тихонова—Каньяра оба магнитотеллурических импеданса на поверхности земли равны между собой:

Z_yx = Z_xy = Z. (2.29)

Импеданс Z, определяемый на поверхности земли, будем называть входным импедансом горизонтально-слоистого разреза, или им­педансом Тихонова - Каньяра. Входной импеданс вычисляется по отношению измеренных на поверхности земли взаимно ортогональных составляющих электрического и магнитного полей:

Z = = - . (2.30)

Входной импеданс зависит только от параметров геоэлектрического разреза.

Одной из основных задач магнитотеллурических методов является измерение импеданса Тихонова - Каньяра Zи восстановле­ние одномерного нормального распределения электропроводности σ_n(z)по параметрической зависимости Z от частоты ω.

Дата добавления: 2014-11-16