Скалярные функции многих переменных

Рассмотрим основные свойства скалярных функций многих переменных, используемые при построении оптимизационных алгоритмов. Эти функции будем обозначать через , где — вещественный n-мерный вектор . Если n=1 то переменная обозначается как . Функция ставит в соответствие n-мерному вектору число на действительной оси, что записывается как .

Линии уровня. Для произвольной функции векторного аргумента уравнение определяет в (n+1)-мерном пространстве некоторую гиперповерхность. Когда n=2, это обычная поверхность в трехмерном пространстве . При этом, для каждого из множества значений функции уравнение неявно задает кривую в координатах на плоскости . Если несколько таких кривых, соответствующих некоторой выборке значений параметра с, изобразить на одной плоскости, получится контурный график функции. Образующие его кривые принято называть линиями уровня. На рис. 1 представлен контурный график функции . Показаны линии уровня, отвечающие значениям , равным 0.2, 0.4, 0.7, 1., 1.7, 1.8, 2.8, 4, 5, 6 и 20.

Рис. 1. Контурный график функции

Определение. Градиентом функции , дифференцируемой по своим аргументам называется вектор

Определение. Гессианом функции , дважды дифференцируемой по своим аргументам называется матрица H размером , на пересечении -ой строки -го столбца которой находится значение соответствующей смешанной производной второго порядка в точке , а именно:

Определение. Последовательным главным минором -го порядка квадратной матрицы размером называется значение определителя подматрицы, полученной путем удаления из исходной матрицы последних п-к строк и соответствующих (с теми же номерами) n-k столбцов.

Определение. Главным минором -го порядка квадратной матрицы размером называется значение определителя подматрицы, полученной путем удаления из исходной матрицы произвольных п-к строк и соответствующих (с теми же номерами) n-k столбцов.

3. Конечномерные задачи без ограничений

Исследуем необходимые и достаточные условия экстремума функций одной и нескольких переменных.

Дата добавления: 2014-11-18