Позиционные системы счисления

Совокупность правил записи чисел называется системой счисления. Наиболее часто используются позиционные системы счисления, в которых целое положительное число записывается в виде последовательности символов e_ne_n-1...e_p...e₂e₁, а вес каждого символа е_р определяется его позицией в записи числа. В дальнейшем будут использоваться только позиционные системы счисления, в которых вес символа е_р равен q^р-1, где q — основание системы счисления, а е_р=0, 1,...,q—1- символы данной системы счисления. Тогда любое целое положительное число Е в системе счисления с основанием q можно записать в виде Е= (e_n...e_p..,e₁)_q=e_nq^n-l+...+e_pq^р-l+...+e₁q⁰ = . При вычислении суммы полагаем, что все значения е_р и q^р-l представлены в привычной десятичной системе счисления.

Максимальное n -разрядное число получается при e_p=q—1 для всех р: . Из этого следует, что существует qⁿ различных n- разрядных чисел (с учетом нуля). В таблице 1.1 показан перевод 16 чисел из одной системы в другую при наиболее часто используемых основаниях систем счисления q=2, 10, 8, 16.

Таблица 1.1 – Перевод 16 чисел из одной системы в другую

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1   0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1   1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1   1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1			A B C D E F

Перевод чисел из системы счисления с произвольным основанием q в десятичную систему счисления (q=10) выполняется по приведенным формулам, для чего требуется перевести в десятичную систему счисления только числа е_р и q. Несколько сложнее произвести перевод чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием q ≠ 10. Наиболее просто такой перевод выполняется для q=2, 8, 16. Пусть требуется перевести число (1987)₁₀ в указанные системы счисления. Перевод осуществляется последовательным делением числа, заданного в десятичной системе счислений, на q =8:

Таким образом, (1987)₁₀= (3703)₈. Для перевода полученного числа в двоичную систему счисления достаточно каждую цифру представить в двоичном коде: (3703)₈= (011.111.000.011)₂. Перевод полученного двоичного числа в 16-ричную систему счисления выполняется его разбиением на тетрады (тетрада — четыре разряда) и переводом каждой тетрады в 16-ричную систему счисления: (0111.1100.0011)₂= (7С3)₁₆. Итак, получили (1987)₁₀= (3703)₈= (11111000011)₂= (7С3)₁₆.

Для обозначения произвольных десятичных чисел используются символы i, j и тому подобное, а двоичные числа записываются в виде е_п...е_р...е₁, где е_р =0 или 1. Равенства для десятичных и двоичных чисел записываются, опуская индекс, указывающий основание системы счисления i = е_п...е_р...е_1.

Дата добавления: 2014-11-18