Крутильний маятник

Математичний маятник

Математичний маятник – це підвішена на невагомій нерозтяжній нитці матеріальна точка, яка під дією сили тяжіння може здійснювати періодичні коливання.

Математичний маятник можна розглядати як частинний випадок фізичного маятника, вся маса якого зосереджена в одній точці – центрі мас.

Період коливань такого маятника:

, (3.22)

де L – довжина нитки.

Таким чином, період коливань математичного маятника:

(3.23)

Коливання математичного маятника, як і фізичного, є гармонічними лише при малих кутах відхилення.

Крутильний маятник – це тверде тіло, закріплене на жорсткій підвісці, яке може здійснювати крутильні коливання під дією сил пружності деформації кручення підвіски.

При закручуванні маятника на кут виникає момент пружної сили, який намагається повернути маятник у положення рівноваги

M = - f , (3.24)

де f - модуль кручення дротини, який залежить від розмірів

і пружних властивостей матеріалу дротини.

	Рис.3.3

Оскільки після закручування маятник буде здійснювати обертальний рух навколо своєї вертикальної осі, яка проходить через точку підвісу вздовж дротини, то:

M = J ,(3.25)

де J – момент інерції маятника відносно осі закручування.

Врахувавши (3.13), (3.24), рівняння (3.25) запишемо у вигляді:

, (3.26)

або:

. (3.27)

Ввівши позначення:

, (3.28)

отримаємо диференціальне рівняння гармонічних коливань крутильного маятника:

. (3.29)

Розв’язком (3.28) є рівняння гармонічних коливань:

φ₀). (3.30)

Період коливань крутильного маятника:

. (3.31)

3.6. Згасаючі коливання

Реальні механічні коливання здійснюються при наявності сил опору середовища. Тому механічна енерґія коливної системи з часом зменшується, а самі коливання загасають. Сила опору середовища переважно пропорційна швидкості руху тіла, що здійснює коливання:

, (3.32)

де r – коефіцієнт опору середовища,

знак (-) вказує на протилежний напрям сили опору

і швидкості руху.

Нехай тіло масою m під дією пружної сили -kx і сили опору здійснює коливання вздовж осі OX. Рівняння руху такого тіла:

, (3.33)

або: . (3.34)

Позначивши:

; ,

де - коефіцієнт згасання,

запишемо диференціальне рівняння згасаючих коливань:

. (3.35)

Якщо > , розв’язком (3.35) є рівняння:

φ₀), (3.36)

яке описує гармонічні коливання з циклічною частотою і змінною у часі амплітудою при початко-

вій амплітуді А₀ (рис.3.4)

X  

T  

A_n+1  

A_n  

A₀  

t  

Рис.3.4

Період згасаючих коливань: . (3.37)

· Декрементом згасання D називається відношення амплітуд двох послідовних коливань:

. (3.38)

· Лоґарифмічним декрементом згасання називається фізична величина:

. (3.39)

· Часом релаксації коливальної системи називається проміжок часу протягом якого амплітуда коливань зменшується в е разів (е – основа натурального лоґарифму)

· Коефіцієнтом згасання називається фізична величина, обернена до часу релаксації:

. (3.40)

· N_е – число коливань, після здійснення яких амплітуда зменшується в е разів, так що = N_еT.

= Т = . (3.41)

Отже лоґарифмічний декремент згасання - це фізична величина, обернена до числа коливань N_e, після здійснення яких амплітуда зменшується в е разів.

· Добротністю системи називається фізична величина:

,(3.42)

де Е – енерґія системи у даний момент часу;

E – енерґія, втрачена протягом одного періоду.

Отже добротність системи тим більша, чим менші втрати

енерґії системи E. Можна показати, що:

= N_e. (3.43)

3.7. Механічні хвилі

Хвиля – це процес поширення коливань у просторі. При поширенні хвилі частинки середовища не втягуються у поступальний рух, а лише коливаються навколо положень рівноваги. При цьому частинки обмінюються енерґією. Тому хвилі переносять енерґію без перенесення речовини.

Механічні (пружні) хвилі - це процес поширення коливань у пружному середовищі. Хвилі бувають поздовжніми і поперечними.

У випадку поперечної хвилі частинки середовища коливаються в напрямі, перпендикулярному до напряму поширення хвилі. Поперечні хвилі поширюються у середовищах, в яких виникають пружні сили при деформації зсуву, тобто в твердих тілах. Поперечна хвиля може поширюватися також на поверхні рідини.

Швидкість поширення поперечної хвилі:

, (3.44)

де G – модуль зсуву,

- густина середовища.

У випадку поздовжньої хвилі частинки середовища коливаються у напрямі поширення хвилі. Поздовжні хвилі поширюються у середовищах, де виникають пружні сили при

деформаціях стиску (розтягу), тобто у твердих тілах, рідинах і газах. Швидкість поширення поздовжньої хвилі:

, (3.45)

де Е – модуль Юнґа,

- густина середовища.

Для опису хвиль поряд з такими характеристиками, як амплітуда, період, частота, фаза використовують поняття:

· хвильовий фронт – ґеометричне місце точок середовища, до яких доходять коливання в даний момент часу;

· хвильова поверхня – ґеометричне місце точок, які коливаються в однаковій фазі. За формою хвильової поверхні розрізняють плоскі, сферичні і інші хвилі;

· промінь –лінія, перпендикулярна до хвильової поверхні;

· довжина хвилі () – найменша відстань між двома точками середовища у напрямі, перпендикулярному до напряму поширення, які коливаються в однаковій фазі;

· швидкість хвилі (u) – швидкість поширення постійної фази хвилі;

· хвильове число - .

Довжина хвилі, швидкість, період і частота n зв’язані співвідношеннями:

= uT;

u = ν.

Плоска біжуча хвиля

Хвилі, які переносять у просторі енерґію, називаються біжучими. Якщо плоска хвиля поширюється вздовж осі OX, то -зміщення з положення рівноваги частинок, що коливаються, залежить від їхніх координат x та часу t, тобто .

ζ

Частинка В знаходиться на відстані x від джерела коливань О (рис.3.5). Якщо коливання частинок, які лежать в площині x = 0, описуються функцією , то частинка В коливатиметься за таким же законом, але її коливання будуть запізнюватися у часі порівняно з коливаннями джерела на

B

λ

x

X  

u

Рис.3.5    

Тому рівняння біжучої хвилі має вигляд:

. (3.46)

Якщо плоска хвиля поширюється у протилежному напрямі, то:

. (3.47)

У загальному випадку:

[ φ₀ ]. (3.48)

Враховуючи:

,

надамо рівнянню плоскої хвилі вигляду:

φ₀). (3.49)

Інтерференція хвиль. Стоячі хвилі.

Хвилі називаються когерентними, якщо вони мають однакову частоту і різниця їх фаз залишається постійною в часі:

φ = (φ₁ – φ₂)

Інтерференція – це явище перерозподілу енергії хвиль в просторі з утворенням стійких в часі областей максимуму і мінімуму енерґії, яке відбувається в результаті накладання когерентних хвиль.

Особливим випадком інтерференції є утворення стоячих хвиль.

Стоячі хвилі – це результат накладання двох біжучих когерентних хвиль з однаковими амплітудами, які поширюються назустріч одна одній:

; φ ; .

Рівняння вказаних хвиль відповідно мають вигляд:

; (3.50)

. (3.51)

При додаванні цих рівнянь отримаємо рівняння стоячої хвилі:

(3.52)

Амплітуда стоячої хвилі залежить від координати x:

. (3.53)

В точках середовища, де

(m = 0, 1, 2, …), (3.54)

амплітуда А_ст досягає максимального значення, яке дорівнює 2А.

Ці точки називаються пучностями стоячої хвилі.

В точках середовища, де

(m = 0, 1, 2, …), (3.55)

амплітуда А_ст = 0.

Ці точки називаються вузлами стоячої хвилі.

З рівнянь (3.54) і (3.55) отримаємо координати пучностей та вузлів:

; (3.56)

. (3.57)

Відстань між двома сусідніми вузлами (або пучностями) стоячої хвилі називають довжиною стоячої хвилі :

. (3.58)

Всі точки стоячої хвилі між двома вузлами коливаються з різними амплітудами, але з однаковими фазами.

Стояча хвиля не переносить енерґію, тому що падаюча і відбита хвилі однакової амплітуди несуть однакову енерґію в протилежних напрямках.

Якщо середовище, від якого відбувається відбивання, менш густе, то в місці відбивання отримується пучність, якщо більш густе – вузол.

Дата добавления: 2014-11-18