Вопрос37. Первый и второй замечательный пределы и следствия из них

Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

Следствия

Следствия

для ,

(а доказательство там-вообще долбанись)

Вопрос38. Сравнение бесконечно малых. Свойства эквивалентных бесконечно малых. И их таблица.

Сравнение бесконечно малых функций.

Пусть и — две функции, бесконечно малые в точке . Если , то говорят, что более высокого порядка малости, чем и обозначают . Если же , то более высокого порядка малости, чем ; обозначают . Бесконечно малые функции и называются бесконечно малыми одного порядка малости, если , обозначают . И, наконец, если не существует, то бесконечно малые функции и несравнимы.

ПРИМЕР 2. Сравнение бесконечно малых функций

Эквивалентные бесконечно малые функции.

Если , то бесконечно малые функции и называются эквивалентными, обозначают ~ .

Свойства эквивалентных бесконечно малых:

1. Разность двух эквивалентных бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка относительно каждой из них.

2. Если из суммы нескольких бесконечно малых разных порядков отбросить бесконечно малые высших порядков, то оставшаяся часть, называемая главной, эквивалентна всей сумме.

Из первого свойства следует, что эквивалентные бесконечно малые могут сделаться приближенно равными со сколь угодно малой относительной погрешностью. Поэтому знак мы применяем как для обозначения эквивалентности бесконечно малых, так и для записи приближенного равенства их достаточно малых значений.

α(x)→0

	sinα(x)~α(x)
	arcsinα(x)~α(x)
	tgα(x)~α(x)
	arctgα(x)~α(x)
	loga(1+α(x))~(logae)α(x)
	ln(1+α(x))~α(x)
	aα(x)-1~α(x)lna,a>0,a≠1
	eα(x)-1~α(x)
	(1+α(x))μ-1~μα(x)
	1+α(x)n-1~α(x)n
	1+α(x)-1~α(x)2
	1-cosα(x)~12α2(x)

Дата добавления: 2014-11-20