Нуль-единичная проверка истинности высказываний

Каждое из простых высказываний, как мы помним, может принимать два возможных значения: "истинно" или "ложно", и в зависимости от семантического значения переменных, составленные из них сложные сообщения будут принимать разные значения. Теперь нам предстоит научиться вычислять истинностное (семантическое) значение сложных высказываний, записанных в виде формулы.

Существует несколько способов разрешать формулы, то есть устанавливать, истинно или ложно выражение при разных наборах значений пропозициональных переменных. Наиболее простым и удобным является метод нуля и единицы.

Возьмем какое-нибудь конкретное высказывание, допустим, такое: "Если получу стипендию, то куплю себе учебник по логике, и, если не получу стипендию, то учебник по логике покупать не стану". Обозначим через p простое высказывание "Получу стипендию" и через q - "Куплю учебник по логике". Тогда формула для этого выражения будет выглядеть так:

(p => q) /\ (-p => -q).

Предположим, далее, что на самом деле учебник не был куплен, хотя стипендия была получена. На языке символической логики это означает, что высказывание p является истинным (p=1), а высказывание q - ложным (q=0). В данном случае само собой понятно, что сделанное заявление о покупке учебника при получении стипендии не соответствует реальным делам, следовательно, ложно. Но нам надо получить этот результат с помощью подсчета (так, чтобы к нему могла бы прийти и машина). Для разрешения данной формулы надо сначала подставить в нее вместо буквенных переменных их цифровые значения. Тогда получим:

(1 => 0) /\ (-1 => -0).

Теперь надо поэтапно упрощать выражение. Сначала проведем отрицания внутри скобок. Поскольку в таблице истинности отрицание обозначено как -p, то для вычисления выражения 1 надо найти в столбце для p ту строку, где стоит 1 (первая строка), и найти после этого цифру, которая ей соответствует в столбце -p. В этом месте находится нуль: отрицание истинного высказывания дает высказывание ложное. Значит, отрицание единицы можно заменить на нуль. Аналогично отрицание нуля можно заменить на единицу остальную же часть формулы пока просто перепишем без изменений:

(1 => 0) /\ (0 => 1).

Следующим шагом мы должны вычислить две импликации. Для разрешения выражения (1 => 0) надо найти ту строку, где p=1, а q=0 (третья строка) и посмотреть, какая ей соответствует цифра в колонке p => q, то есть импликации (там стоит цифра нуль); значит выражение (1 => 0) можно заменить на 0. Для (0 => 1) берем вторую строку, где p=0, а q=1; в колонке импликации в этой строке стоит цифра 1. Значит выражение (0 => 1) можно заменить на 1. Тогда формула сведется к конъюнкции:

0 /\ 1,

0.

которая вычисляется аналогичным образом и, в конечном счете, заменяется на нуль.

Вычисление показывает, следовательно, что высказывание о покупке учебника (записанное у нас в виде формулы (p => q) (-p => -q), не соответствует реальным обстоятельствам, выраженным через истинностные значения переменных (p=1, q=0). Это надо понимать так: тот, кто сделал заявление, выраженное просчитанной нами формулой, не сдержал своего слова, коль его реальные дела выражаются взятыми нами для примера значениями переменных.

Читатель может проверить истинность этого заявления и при других значениях переменных. Поскольку их всего две, то возможных наборов четыре - столько же, сколько и у простых союзов.

Результаты сведены здесь в таблицу 2. Из нее видно что, если бы высказывание сопровождалось приобретением учебника, несмотря на то, что стипендия не была получена (вторая строка), то его слова надо было бы признать не соответствующими делам. В то же время его высказывание является истинным, если стипендии не было и учебник не был куплен (последняя строка). Тем более его высказывание не является ложным, если после получения стипендии учебник был куплен (первая строка).

Таблица 2

p	q	(p => q) /\ (-p ® -q)

Легко увидеть, вникнув в содержание всего заявления, что именно так мы и сами оценили бы его истинность при всех перечисленных вариантах реальных обстоятельств.

Язык символической логики позволяет обнаруживать некоторые трудно уловимые нюансы в нашей речи. Возьмем высказывание "Будет свет, и если не будет света, то, значит, началась забастовка". Формула для него запишется таким образом: (p /\ (-p => q)), а семантические значения можно видеть в помещенной выше таблице 3. Может показаться странным, но в случае, если нет света, и идет забастовка (p=0, q=1), высказывание, как ни парадоксально, является ложным, хотя оно как будто прямо говорит, что при забастовке света не будет. Однако все станет понятно, стоит лишь переставить местами слова в высказывании: "Если света не будет, то, значит, началась забастовка, и все же свет будет". Формула для обновленного выражения остается той же самой, ибо последовательность записи не имеет принципиального значения. Просто в такой формулировке меняются акценты. В высказывании звучит уверенность, что свет будет, несмотря на кое-какие мешающие обстоятельства. С учетом этих оттенков смысла ошибочным оно может быть признано только при отсутствии света, как это и отражено в указанной таблице 3. В первоначальной же редакции логическое ударение делается на мешающих обстоятельствах. Поэтому отсутствие света при забастовке, кажется, подтверждает сделанное заявление, но на деле этого все-таки нет. Без символической логики, возможно, мы не заметили бы таких тонких зависимостей в смыслах предложений.

Возьмем еще такую ситуацию в качестве примера. Таможенная служба получила от одного из своих сотрудников сведения о торговой фирме: она поставляет парфюмерию или, если не парфюмерию, то косметику. Обозначив через p "Фирма поставляет парфюмерию", через q - "Фирма поставляет косметику", получим:

(p \/ (-p => q)).

Вычисление возможных значений формулы и их интерпретацию предоставляется выполнить самостоятельно. Результаты можно сверить по приведенной здесь таблице 3.

Таблица 3

p	q	p \/ (p ® q)

Подобным образом можно вычислять семантические значения любых формул, как бы они ни были сложны. Причем, если переменных больше двух, то тогда, разумеется, и вариантов их сочетаний больше: при трех - 8, при четырех - 16 и т.д. Запишем еще одно высказывание, но уже с тремя переменными, и просчитаем его.

Допустим, кто-то обвиняет власти и говорит: "Неправда, что свет не отключают тогда и только тогда, когда имеется горючее, и рабочие не бастуют". Пусть p означает "Свет отключают", q - "Имеется горючее", r - "Рабочие бастуют. Тогда формула, выражающая эту мысль, будет такой:

-(-p ó (q /\ (-r)).

И допустим затем, что на самом деле свет отключают (p=1), когда имеется горючее (q=1) и рабочие не бастуют (r=0). Обвинение должно быть в таком случае вроде бы правильным. Проведенное ниже разрешение подтверждает это.

-(-p ó (q /\ (-r)),

-(-1 ó (1 /\ (-0)),

- (0 ó (1 /\ 1)),

-(0 ó 1),

-0,

Теперь допустим, что свет действительно отключают (p=1), когда нет горючего (q=0), однако забастовки тоже нет (r=0). Тогда обвинение властей должно быть ложным. Это тоже подтверждается проведенным далее просчитыванием.

-(-1 ó (0 /\ -0)),

-(0 ó (0 /\ 1)),

-(0 ó 0),

-1,

0.

Дата добавления: 2014-11-20