КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Свойства определителей. 2 страница
| ||||||||
Определение функции
Определение. Если каждому элементу x из числового множества X можно поставить в соответствие по известному закону один элемент y из числового множества Y, то говорят, что на множестве X задана функция (или однозначная функция), обозначаемая обычно f(x) или y(x).
В некоторых случаях указанное соответствие называется отображением множества X на множество Y.
Множества X и Y называются соответственно областью определения и областью изменения функции f(x).
Очевидно, при задании закона соответствия f(x) и множества X определяется множество Y={y| y = f(x), xÎX}, т.е. для того, чтобы задать функцию, достаточно задать закон соответствия и множество области определения.
Переменная x называется аргументом или независимой переменной, а переменная y называется функцией или зависимой переменной.
Примеры функций: y=ax+b, XºR, YºR;
y= , X={x| x³0}, Y={y| y³0}.
Способы задания функций
1. Аналитическое задание. Если указана совокупность операций, которые надо произвести над аргументом x, чтобы получить значение функции y, то говорят, что функция задана аналитически.
1). Явное задание: y=f(x).
Например, y= +1, x³0; y=x2-5x-1.
2). Неявное задание: уравнение F(x,y)=0, при некоторых условиях, задает функцию y=f(x), если F(x, f(x))º0.
Например: Уравнение x2+y2=1 при y³0 задает функцию y= .
2. Табличное задание. На практике часто зависимость одной величины от другой находят опытным путем. В этом случае получается таблица, в которой даются значения функции для конечного множества значений аргумента.
3. Графическое задание. Графиком функции y = f(x) называется геометрическое место точек плоскости OXY
вида M(x,f(x)), где x - произвольное
значение из области определения функции.
Указанное геометрическое место точек, как правило, образует некоторую кривую l.
В этом случае задание кривой l определяет отображение области определения на область изменения функции f(x) (см. Рис).
4. Словесное или описательное задание. В этом случае функциональная зависимость выражается некоторым словесным утверждением.
Например: Функция [x] есть целая часть числа x
Функция {x} есть дробная часть числа x
Графики функций y=[x] и y = {x} ºx-[x].
1. Заметим, что [x] означает целую часть числа x, т.е. [x]=n, если x=n+r, где 0£ r <1, причем данная функция определена при любом значении x из R.
Рассматривая промежутки изменения x вида n£x<n+1 при nÎZ, получим, что [x]=n. Поэтому нетрудно построить график y=[x].
2. Запишем выражение x-[ x ] на промежутке x Î [n; n + 1), тогда y=x-[x]=n+r-n=r. Следовательно, значение функции в точке n+r равно дробной части числа x, т.е. yÎ[0;1).
Первый замечательный предел. =1 Рассмотрим тригонометрический круг. Имеем |AC|=sin x
|BmC|=x
BD=tg x Очевидно, что sin x< x <tg x (при 0< x <p/2). Разделим неравенство на sin x¹0, тогда 1< или 1> >cos x 0> -1>cos x-1; 0< 1- <2sin2 <2× × = Так как 0 и есть бесконечно малые функции при х®0, то и 1- при õ®0 бесконечно малая функции. Значит =1. Замечание. Доказательство проведено для х>0. Однако, если х<0, то под знаком предела можно сделать замену х=-t, t®+0: = = =1. Следовательно =1 Признаки существования предела
1. Если и , то
2. Монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.
3. Числовая последовательность (xn) имеет конечный предел тогда и только тогда, когда
| Предел функции в точке. Прежде чем рассматривать предел функции, введем некоторые понятия. А. Предельная точка множества. Определение. Точка х0 называется предельной точкой множества Х или точкой сгущения, если в любой окрестности точки х0 содержится хотя бы одна точка множества Х отличная от х0. Например. 1. Любая точка замкнутого промежутка является точкой сгущения этого промежутка. 2. Любой частичный предел последовательности является точкой сгущения для последовательности. 3. Любая точка интервала (a, b) и точки a, b являются предельными для множества (a, b). Как видим из приведенных примеров, что предельные точки множества могут как принадлежать, так и не принадлежать множеству, для которого они являются предельными. Например. 1. хn=(-1)n- последовательность имеет две предельные точки: 1 и -1 2. xn=1/n - последовательность имеет одну предельную точку 0; 3. [0; 1] - все точки множества являются предельными; 4. (a, b) - все точки множества [a, b] являются предельными для этого множества; 5. Предел последовательности всегда является предельной точкой последовательности. Б. Окрестность. Определение. Любой открытый промежуток (х0-d; х0+d) называется d - окрестностью точки х0 и обозначается d(х0). Определение. Левой полуокрестностью точки х0 является множество (х0-d, х0), а правой полуокрестностью точки х0 является множество (х0, х0+d). Определение. Окрестностью бесконечности будем называть множества: (-¥; -D)È(D; +¥), где D некоторое положительное число. Замечание. Окрестностью +¥ является множество (D; +¥), а окрестностью -¥ является множество (-¥; -D), где D некоторое положительное число. Очевидно, что любая окрестность предельной точки множества содержит бесконечно много точек этого множества. В. Замкнутость множества. Граница множества. Определение. Множество Х называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Определение. Множество Х называется открытым, если всякая его точка принадлежит этому множеству вместе с некоторой окрестностью. Определение. Граничной точкой множества Х называется точка х0, в любой окрестности которой лежат как точки множества Х, так и точки, которые ему не принадлежат. Определение. Множество всех граничных точек образует границу данного множества. Замечание. Граничная точка множества Х может не принадлежать этому множеству. Примеры. 1. Множество [0; 2] является замкнутым; так как все его предельные точки (а это сам отрезок [0;2]) принадлежат данному множеству. 2. Множество (0; 2) является открытым, так как все его точки принадлежат множеству (0; 2) вместе с некоторой окрестностью. (При этом предельные точки 0 и 2 не принадлежат данному множеству). 3. Множества (0; 2] и [0; 2) не являются ни замкнутым ни открытым, т.к.: 1). не все предельные точки их принадлежат данному множеству (точка 0 предельная для (0, 2], но ему не принадлежит; точка 2 предельная для [0, 2), но ему не принадлежит; 2). не все точки принадлежат множеству вместе с некоторой окрестностью (точка 2 для (0; 2] не принадлежит ему вместе с окрестностью; точка 0 для [0, 2) не принадлежит ему вместе с окрестностью) То есть существуют множества, которые не являются ни открытыми ни замкнутыми. 4.Для множеств [0, 2], (0, 2), [0, 2), (0, 2] точки 0 и 2 являются граничными, причем: 1). граничные точки 0 и 2 принадлежат [0, 2]; 2). граничные точки 0 и 2 не принадлежат (0, 2); 3). граничная точка 0 принадлежит [0, 2), а граничная точка 2 не принадлежит [0, 2); 4). граничная точка 0 не принадлежит (0, 2], а граничная точка 2 принадлежит (0, 2]. Далее рассмотрим два примера: y=1/x, y=x+1. Указанные функции обладают такими свойствами: - значение первой функции у=1/х становится близким к 0, если значение аргумента х становится достаточно большим, например положительным. - значение второй функции становится близким к 2, если значение аргумента х становится близким к 1. В математике эти факты можно записать символами: у=1/х®0, при х®¥; у=х+1®2, при х®1. Это свойство можно строго сформулировать математически и оно имеет большое значение в математике. Определение предела (по Коши). Функция f(x) хÎХ имеет своим пределом число А при стремлении x к предельной точке х0 множества Х, если для каждого числа e>0 существует число d(e)>0 такое, что при всех х из окрестности |x-x0|<d, x¹x0 имеет место неравенство |f(x)-A|<e. Символически этот факт записывают в виде . Геометрическая интерпретация. Если функция у=f(x) хÎХ имеет своим пределом число А при х®х0, то разность значений функции и ее предела А достаточно мала, если значение аргумента х близко к х0. Геометрически это означает, что график функции y=f(x) виден в «окошке» плоскости OXY c координатами: хÎ(х0-d; х0+d), х¹х0, d=min(d1, d2); yÎ(A-e; A+e), А - предел функции, e - любое положительное число. Особо отметим, что график функции может «выйти» из указанного «окошка» только через боковые стороны. Только через них! Отметим еще одну особенность: при рассмотрении предела функции в точке х0 само значение функции в точке х0 исследователя не интересует. Это значение f(x0) может быть, в общем случае, равным А или не равным А, или, наконец, функция f(x) в точке х0 может быть не определена. Определение предела (по Гейне). Функция f(x) хÎХ имеет своим пределом число А при стремлении х к предельной точке х0, если для любой последовательности xn сходящейся к х0, причем xn¹х0 (xnÎ X) последовательность f(xn) сходится к А. Символическая запись. : 1. По Коши: для " e>0, $ d(e, x0)>0, что при |x-x0|<d(e), x¹x0 => |f(x)-A|<e. 2. По Гейне: для " xn®x0, xn¹x0 => f(xn)®A. Отметим, что определения предела функции в точке по Коши и по Гейне - эквивалентны. Сформулируем далее следующие утверждение: число А не является пределом функции f(x) в точке х=х0. Данное утверждение обычно называют отрицанием предела. Отрицание предела. ¹А. По Коши: $ e0>0 такое, что для " d>0 существует точка х*ÎХ такая, что |x*-x0|<d, x*¹x0, но |f(x*)-A|³e0. По Гейне: $ xn*®x0, xn*¹x0, что f(xn*) / A. | Свойства пределов
Пусть даны функции и .
1.Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел.
2.Сходящаяся функция локально сохраняет знак. Более обще,
где — проколотая окрестность точки a.
3.В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:
4.Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:
5.Отделимость от нуля функций, имеющих предел, отличный от нуля.
6.Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.
7. Предел суммы равен сумме пределов:
8. Предел разности равен разности пределов:
9. Предел произведения равен произведению пределов:
10. Предел частного равен частному пределов.
Второй замечательный предел.
Мы уже встречались ранее с пределом (1+1/n)n=e при nÎN. Очевидно (1+1/nk)nk=e, при nkÎN, т.к. последовательность (1+1/nk)nkявляется подпоследовательностью сходящейся к е, последовательности (1+1/n)n.
Возьмем далее произвольную последовательность хк сходящуюся к +¥, т.е. хк®+¥, при к®¥.
Тогда имеем nk£xk<nk+1, где nk=[xk], а также ; ; .
То есть . Пределы левой и правой частей при к®¥ равны е, т.к. nk®+¥ (очевидно и хк®+¥) и (1+1/nk)nk=e. Откуда по теореме о зажатой последовательности имеем
(1+1/хk)хk=e при хк®+¥.
Тогда по определению предела по Гейне получаем, что
(1+1/х)х=e - 2ойзамечательный предел.
Имеет место также равенство (1+1/х)х=e т.к. сделав замену -х=t, получим: (1-1/t)-t= = = = e
Дата добавления: 2014-11-20; Просмотров: 335; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |