КАТЕГОРИИ:
Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)
Свойства определителей. 2 страница
|
|
|
|
и 
= 
в координатной форме имеет вид
. Из этого равенства следует наше утверждение, так как
.
Верно и обратное.
Векторное произведение двух векторов
Предварительно введем понятие правой тройки векторов. Три вектора 
, 
, 
образуют правую тройку, если движение вектора к вектору по меньшему углу совершается против часовой стрелки, при наблюдении с конца вектора .
Например, орты 
, 
, 
правой системы координат образуют правую тройку векторов. Векторным произведением двух векторов 
и 
называется третий вектор 
, обозначаемый символом ´ и удовлетворяющий условиям:
1.Модуль вектора равен площади параллелограмма, построенного на векторах 
и 
т.е., 
, где j -угол между этими векторами.
2. Вектор 
ортогонален векторам 
и 
.
3. Тройка векторов , , правая.
Свойства векторного произведения.
1. ´ =- ´ . Действительно, модуль векторного произведения ´ не меняется, т.к. численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и ; направление 
´ противоположно направлению ´ , т.к. движение от вектора к вектору по меньшему углу с конца 
вектора -( ´ 
) видно по направлению против часовой стрелки, (рис. 4).
2. ´ = 
.
Указанное равенство следует из определения.
Замечание: Для того чтобы векторы были коллинеарны необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было равно нуль вектору, т.е. ´ = 
.
3. 
.
Докажем равенство 
= 
при l>0.
Пусть (
´ 
)= и | |=abSinj. Тогда вектор 
имеем то же направление, что и вектор . Но 
, значит 
или 
= 
. Очевидно, что 
= 
.
4.Для любых векторов , 
, 
имеет место равенство ( + )´ 
= 
. Рассмотрим частный случай: пары векторов 
, и , 
-правые. В этом случае векторы (
также образуют правую пару. Тогда векторы 
, 
, 
коллинеарны и одинаково направлены. И нам остается доказать, что модуль вектора 
равен сумме модулей векторов 
и 
, т.е. | 
|=| |+| 
|.
Рассматривая соответствующие параллелограммы, (рис. 5), имеем 
, 
.
Так как 
, то имеет место равенство площадей
. Откуда | 
|=| 
|+| 
|, а значит
= 
+ . Таким образом векторное произведение сумм векторов осуществляется
по правилу умножения многочленов.
5.Векторное произведение в координатах.
Пусть даны два вектора и 
в координатах, т.е.
, 
.
Тогда, используя свойства векторного произведения и условия
, 
,
, 
получим ´ = 
.
Или ´ = 
,
откуда ´ = 
.
Замечание. Так как | ´ |2 можно представить в виде
| 
´ 
|2= 
,
то площадь S треугольника, построенного на векторах 
и можно вычислить по формуле S=1/2| ´ | или
, X={x| x³0}, Y={y| y³0}.
Способы задания функций
1. Аналитическое задание. Если указана совокупность операций, которые надо произвести над аргументом x, чтобы получить значение функции y, то говорят, что функция задана аналитически.
1). Явное задание: y=f(x).
Например, y= 
+1, x³0; y=x2-5x-1.
2). Неявное задание: уравнение F(x,y)=0, при некоторых условиях, задает функцию y=f(x), если F(x, f(x))º0.
Например: Уравнение x2+y2=1 при y³0 задает функцию y= 
.
2. Табличное задание. На практике часто зависимость одной величины от другой находят опытным путем. В этом случае получается таблица, в которой даются значения функции для конечного множества значений аргумента.
3. Графическое задание. Графиком функции y = f(x) называется геометрическое место точек плоскости OXY
вида M(x,f(x)), где x - произвольное
значение из области определения функции.
Указанное геометрическое место точек, как правило, образует некоторую кривую l.
В этом случае задание кривой l определяет отображение области определения на область изменения функции f(x) (см. Рис).
4. Словесное или описательное задание. В этом случае функциональная зависимость выражается некоторым словесным утверждением.
Например: Функция [x] есть целая часть числа x
Функция {x} есть дробная часть числа x
Графики функций y=[x] и y = {x} ºx-[x].
1. Заметим, что [x] означает целую часть числа x, т.е. [x]=n, если x=n+r, где 0£ r <1, причем данная функция определена при любом значении x из R.
Рассматривая промежутки изменения x вида n£x<n+1 при nÎZ, получим, что [x]=n. Поэтому нетрудно построить график y=[x].
2. Запишем выражение x-[ x ] на промежутке x Î [n; n + 1), тогда y=x-[x]=n+r-n=r. Следовательно, значение функции в точке n+r равно дробной части числа x, т.е. yÎ[0;1).
 |
|
|
|
|
|
|
Первый замечательный предел. 
=1
Рассмотрим тригонометрический круг. Имеем
|AC|=sin x
|BmC|=x
BD=tg x
Очевидно, что sin x< x <tg x (при 0< x <p/2).
Разделим неравенство на sin x¹0, тогда
1< 
или 1> 
>cos x
0> 
-1>cos x-1; 0< 1- <2sin2 
<2× × 
= 
Так как 0 и 
есть бесконечно малые функции при х®0, то и 1- 
при õ®0 бесконечно малая функции. Значит 
=1.
Замечание. Доказательство проведено для х>0. Однако, если х<0, то под знаком предела можно сделать замену х=-t, t®+0: 
= 
= 
=1.
Следовательно 
=1
Признаки существования предела
1. Если и 
, то
2. Монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.
|
|
|
3. Числовая последовательность (xn) имеет конечный предел тогда и только тогда, когда 
Это свойство можно строго сформулировать математически и оно имеет большое значение в математике.
Определение предела (по Коши). Функция f(x) хÎХ имеет своим пределом число А при стремлении x к предельной точке х0 множества Х, если для каждого числа e>0 существует число d(e)>0 такое, что при всех х из окрестности |x-x0|<d, x¹x0 имеет место неравенство |f(x)-A|<e.
Символически этот факт записывают в виде 
.
Геометрическая интерпретация.
Если функция у=f(x) хÎХ имеет своим пределом число А при х®х0, то разность значений функции и ее предела А достаточно мала, если значение аргумента х близко к х0.
Геометрически это означает, что график функции y=f(x) виден в «окошке» плоскости OXY c координатами: хÎ(х0-d; х0+d), х¹х0, d=min(d1, d2); yÎ(A-e; A+e), А - предел функции, e - любое положительное число.
Особо отметим, что график функции может «выйти» из указанного «окошка» только через боковые стороны. Только через них!
Отметим еще одну особенность: при рассмотрении предела функции в точке х0 само значение функции в точке х0 исследователя не интересует. Это значение f(x0) может быть, в общем случае, равным А или не равным А, или, наконец, функция f(x) в точке х0 может быть не определена.
Определение предела (по Гейне). Функция f(x) хÎХ имеет своим пределом число А при стремлении х к предельной точке х0, если для любой последовательности xn сходящейся к х0, причем xn¹х0 (xnÎ X) последовательность f(xn) сходится к А.
Символическая запись. 
:
1. По Коши: для " e>0, $ d(e, x0)>0, что при |x-x0|<d(e), x¹x0 => |f(x)-A|<e.
2. По Гейне: для " xn®x0, xn¹x0 => f(xn)®A.
Отметим, что определения предела функции в точке по Коши и по Гейне -
эквивалентны.
Сформулируем далее следующие утверждение: число А не является пределом функции f(x) в точке х=х0.
Данное утверждение обычно называют отрицанием предела.
Отрицание предела. 
¹А.
По Коши: $ e0>0 такое, что для " d>0 существует точка х*ÎХ такая, что |x*-x0|<d, x*¹x0, но |f(x*)-A|³e0.
По Гейне: $ xn*®x0, xn*¹x0, что f(xn*) / A.
и 
.
1.Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел. 
2.Сходящаяся функция локально сохраняет знак. Более обще, 
где 
— проколотая окрестность точки a.
3.В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки: 
4.Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки: 
5.Отделимость от нуля функций, имеющих предел, отличный от нуля. 
6.Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства. 
7. Предел суммы равен сумме пределов: 
8. Предел разности равен разности пределов: 
9. Предел произведения равен произведению пределов: 
10. Предел частного равен частному пределов. 
Второй замечательный предел. 
Мы уже встречались ранее с пределом 
(1+1/n)n=e при nÎN. Очевидно 
(1+1/nk)nk=e, при nkÎN, т.к. последовательность (1+1/nk)nkявляется подпоследовательностью сходящейся к е, последовательности (1+1/n)n.
Возьмем далее произвольную последовательность хк сходящуюся к +¥, т.е. хк®+¥, при к®¥.
Тогда имеем nk£xk<nk+1, где nk=[xk], а также 
; 
; 
.
То есть 
. Пределы левой и правой частей при к®¥ равны е, т.к. nk®+¥ (очевидно и хк®+¥) и 
(1+1/nk)nk=e. Откуда по теореме о зажатой последовательности имеем
(1+1/хk)хk=e при хк®+¥.
Тогда по определению предела по Гейне получаем, что
(1+1/х)х=e - 2ойзамечательный предел.
Имеет место также равенство 
(1+1/х)х=e т.к. сделав замену -х=t, получим: 
(1-1/t)-t= 
= 
= 
= e
|
|
|
|
|
|
|
|
Дата добавления: 2014-11-20; Просмотров: 299; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!