Решение

Условие задачи

Пример 1

Рис. 4.6. К решению примера 1 по построению эпюр Q и М: а – схема балки с нагрузками; б – эпюры поперечной силы и изгибающего момента

Дана балка с действующими на нее нагрузками (рис. 4.6, а). Требуется определить внутренние усилия – поперечную силу Q и изгибающий момент М в балке, построить графики их изменения вдоль оси стержня (эпюры Q и М).

Прежде всего, найдем опорные реакции. Балка имеет жесткое защемление на правом конце[4] и в этом закреплении при заданной вертикальной нагрузке возникают две опорные реакции: вертикальная реакция R_A и реактивный момент M_A. Горизонтальная реакция при действии вертикальной нагрузки равна нулю. Это следует из уравнения равновесия "сумма проекций всех сил на горизонтальную ось равна нулю". Определим R_A и M_A, используя два других уравнения статики. Желательно составлять такие уравнения, в каждое из которых входит только одна неизвестная. В данном случае такими уравнениями являются "сумма проекций всех сил на вертикальную ось (ось z) равна нулю" и "сумма моментов всех сил относительно точки А равна нулю":

; ;

; Из первого уравнения найдем R_A = 30 кН, из второго – М_А =5 кН×м. Полученные положительные знаки опорных реакций подтверждают выбранные нами направления опорных реакций: R_A – вверх, а М_А – против часовой стрелки. Для проверки рекомендуем использовать любое другое уравнение равновесия, например :

– 30×2 – 15×2×1 – 60 + 10×1×2,5 + 30×4+5 = – 150 + 150 = 0.

Теперь определяем внутренние усилия: поперечную силу Q и изгибающий момент М. В соответствии с методом сечений рассекаем балку на каждом участке (в данной задаче их три) произвольным сечением и рассматриваем все силы, расположенные с одной стороны от сечения: слева или справа. Удобно рассматривать все силы с той стороны от сечения, где сил меньше. Начало отсчета координаты x на каждом участке можно выбирать произвольным образом. Например, на рис. 4.6, а начало отсчета x на каждом участке – свое и находится в начале участка. Запишем выражения для Q и М на каждом участке.

Участок 1: .

Рассмотрим силы, расположенные слева от сечения. По определению поперечной силы и с учетом правила знаков для Q (см. рис. 4.5, а):

.

Здесь – равнодействующая равномерно распределенной нагрузки, действующей слева от сечения.

По определению изгибающего момента и с учетом правила знаков для М (см. рис. 4.5, б):

,

где во втором слагаемом – плечо равнодействующей равномерно распределенной нагрузки (), взятой слева от сечения (равнодействующая приложена по середине длины отсеченной части балки x ₁).

Для построения эпюр найдем значения Q и М на границах участка:

в начале участка (х ₁ = 0) , а ;

в конце участка () ; .

Участок 2: .

Снова рассмотрим все силы, расположенные слева от сечения.

;

.

Граничные значения Q и М:

в начале участка () ;

,

в конце участка () ;

.

Участок 3: .

Теперь рациональнее рассмотреть все силы справа от сечения. Тогда

;

.

Из этих выражений следует, что поперечная сила на третьем участке – постоянная величина, а изгибающий момент меняется по линейному закону и на границах участка имеет следующие значения:

в начале участка () ,

в конце участка () .

Запишем результаты определения внутренних усилий в таблицу, сосчитав численные значения Q и М на границах участков (табл. 1).

Таблица 1

Из таблицы видно, что поперечная сила на первом участке меняет свой знак, т. е. график Q пересекает нулевую линию. Это значит, что изгибающий момент на этом участке имеет экстремум. Найдем максимальное значение М на этом участке. Сначала определим то значение координаты х ₁, при котором поперечная сила равна нулю. Обозначим это значение координаты х ₀ (см. рис. 4.6).

х ₀ = 1,33 м.

Чтобы найти максимальное значение изгибающего момента, подставим х ₀ в выражение для М на первом участке:

кН×м.

По результатам вычислений в таблице строим эпюры Q и М на каждом участке (см. рис. 4.6, б). Не забываем после построения эпюр проанализировать результаты по тем правилам проверки правильности построения эпюр, которые перечислены ранее.

Дата добавления: 2014-12-08