Вопросы для повторения. Основные принципы и аксиомы

Основные принципы и аксиомы. Мы видим, таким образом, что Доказательство сводится к раскрытию очевидности данного суждения из очевидности других суждений, которые называются аргументами. А если эти последние не очевидны, то как поступить в таком случае? Нужно доказать их в свою очередь при помощи каких-либо других аргументов. Но так как эти последние также могут быть сомнительными, то доказательство большей частью представляет целую цепь умозаключений. В конце концов всякое доказательство должно приводить к та­ким положениям, которые имеют уже бесспорный или очевидный характер. Эти последние или сутьаксиомы, или это суть общепризнанные общие положения, которые в таком случае называютсяосновными принципами.

О ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ, МЕТОДЕ И СИСТЕМЕ

Определение доказательства. Мы уже имели случай употреб­лять понятие доказательства в связи с понятием умо­заключения. Теперь мы дадим его определение и укажем, какое существует различие между доказательством и умозаключением.

Мы видели, что суждения могут быть непосредственно оче­видными, или они могут сделаться очевидными, если мы их све­дём к положениям, которые имеют характер непосредственно очевидный. Если мы при помощи такого приема делаем сужде­ния очевидными, то можно сказать, что мы их доказываем. Это приведение к очевидности облекается в силлогистическую форму, так что доказательство может быть определено как выведение какого-либо суждения из других суждений, признан­ных истинными и очевидными.

Таким образом, доказательство вообще имеет формулу силлогистического умозаключения, но есть существенные пункты отличия между умозаключением и доказательством.

Именно в умозаключении мы не всегда обращаем вниманиенато, истинны ли посылки; в доказательстве же истинность посы­лок является самым главным требованием. Кроме того, доказа­тельство отличается от силлогизма ещё и тем, что в нём дока­зываемое суждение, соответствующее заключению силлогизма, известно заранее.

Во всяком доказательстве мы различаем три части: 1) дока­зываемое положение, или тезис; это именно то, что должно быть доказано или сделано очевидным; 2) основы доказательства, или аргументы; это то, при помощи чего тезис доказывается или делается очевидным; 3) форма доказательства, или способ, каким тезис выводится из аргументов. Тезис доказательства соответ­ствует заключению в силлогизме. Аргументы соответствуют по­сылкам силлогизма. Форма доказательства есть логическая схема, при помощи которой выводится заключение. Например, нужно доказать, что «железо плавко». Это есть тезис. Для доказательства нам необходимо воспользоваться следующими двумя аргументами; «все металлы плавки», «железо есть металл». Построив силлогизм, мы докажем наш тезис.

Прямое и косвенное доказательство. Процесс доказательства может быть прямой или косвенный. В прямом доказа­тельстве мы выводим истинность тезиса из истинности аргумен­тов при помощи умозаключения; непрямое, или апагогическое, доказательство выводит истинность тезиса из невозможности допустить или признать истинность положения, противоречащего тезису. Именно, в непрямом доказательстве мы берём положение, противореча­щее тезису, и предполагаем его истинным (такое положение называется антитезисом). Затем из этого положения вы­водим следствия, которые приводят к противоречию с данными или признанными положениями. Вследствие этого нам прихо­дится отвергнуть истинность противоречащего положения, которое мы предположительно допустили, а отсюда будет следо­вать истинность тезиса. Таким образом доказывается тезис.

Возьмём пример из математики. Требуется доказать, что в тре­угольнике, в котором два угла равны, противолежащие им сто­роны также равны. Пусть в треугольнике АВС угол а равняется углу b, и пусть противолежащие им стороны будут АС и ВС. Нам нужно доказать, что АС == ВС. Это есть тезис. Возьмём положение, противоречащее тезису: «АС не равняется ВС». Это будет антитезис; тогда из этого последнего положения (согласно теореме, что во всяком треугольнике против большего угла лежит большая сторона) будет следовать, что угол а должен быть или больше, или меньше угла b. Но так как этот, вывод противоречит принятому нами положению, то антитезис, является ложным; тогда истинным должно быть положение, противоречащее ему, именно тезис. Такого рода доказательство называется также reductio ad impossibile или reductio adabsurdum.

Понятие о методе и системе. Для достижения определённых целей в процессе мышления те или другие суждения или ряд суждений должны располагаться в определённом порядке, со­образно известным правилам. Этот порядок расположения суждений, способствующий достижению определённой цели, на­зывается методом. Как мы уже видели, для того, чтобы доказать существование причинной связи между явлениями, нужно, что­бы наши суждения располагались в том или другом порядке: или по методу сходства, или по методу разницы и т. п. Понятие «ме­тод» употребляется и по отношению к физическим процессам. Например, можно учиться плавать, руководясь определёнными правилами, — это будет методическое обучение. Но можно учиться без всяких правил—это будет неметодическое обучение.

Системой вообще мы называем соединение взаимосвязанных явлений в одно целое. Суждения, конечно, тоже могут соединяться таким образом, чтобы составлять одно целое; тогда они образуют «систему» суждений. Система суждений соста­вляет науку. Наука, таким образом, есть совокупность система­тически расположенных суждений достоверных, или по крайней мере вероятных.

Научное мышление должно осуществляться сообразно с изве­стными правилами, т.е. по определённому методу. В научном мышлении метод может применяться в двух различных случаях, именно: во-первых, в открытии новых истин и, во-вторых, в опре­делённом расположении уже открытых истин, как это бывает в изложении научных данных для наиболее ясного их понимания. И для открытия и для изложения научных истин служат методы аналитический и синтетический.

Анализ и синтез. Для того чтобы понять, в чём заключаются эти методы, заметим, что частное положение, вывод, следствие находится в таком же отношении к общему положению, принципу, основанию, в каком дей­ствие находится к причине. Как из известной причины по­лучается известное действие, так из известного принципа, осно­вания получается известный вывод, следствие. Мы так же ищем для известного положения принцип или основание, как для из­вестного действия ищем его причину. С другой стороны, как для известной причины мы ищем её действие, так для известных принципов мы можем искать их следствия.

Отсюда, в зависимости от того, что мы ищем, получаются два различных процесса.

Если мы от причины идём к действию, от основания к выводу, То такой путь называется прогрессивным или синтетическим. Прогрессивным он называется потому, что он соответствует ре­альному ходу природы, действительному ходу вещей, так как в природе причина раньше, чем действие. Обратный путь, именно от действия к причине, от выводов к принципам, называется ре­грессивным, аналитическим.

Схема отношения между анализом и синтезом:

Часто словам «анализ» и «синтез» придают другое значение, именно под анализом понимают метод разложения целого на его составные части, а под синтезом.—обратный метод сло­жения целого и в его частей, или элементов. В этом смысле чаще всего говорят об анализе и синтезе химическом. Но для того чтобы истинный смысл понятий «анализ» и «синтез», как они употребляются в научном исследовании и изложении, был ясен, нужно считать основным значением слова «анализ» то, ко­торое мы только что указали, именно сведение частных положений к основным принципам, а под синтезом следует понимать выведение следствий из основных принципов.

Аналитический метод исследования мы употребляем тогда, когда мы ищем причины данных действий. Судья, моралист и др., которые ищут причины известных действий, употребляют метод аналитический; законодатель, политик, педагог, которые стараются предусмотреть действия известных причин, дол­жны идти путём синтетическим.

Для объяснения применения анализа возьмём следующий при­мер. Чтобы решить задачу вписывания правильного шестиуголь­ника в данный круг, мы рассуждаем так. Предположим, что за­дача решена, и пусть АВ будет одной из сторон вписанного шестиугольника. Если мы проведём радиусы к конечным точкам сторон, то треугольник, образовавшийся таким образом, будет равноугольный (так как каждый угол равен двум третям пря­мого угла); следовательно, сторона вписанного правильного ше­стиугольника равна радиусу. Отсюда следует, что, для того чтобы вписать правильный шестиугольник в данный круг, нужно радиус нанести шесть раз на окружность. Здесь применение ана­литического метода очевидно. Мы, сделав предположе­ние, что задача решена, т. е. допустив данное частное положе­ние, нашли то условие, тот общий принцип, при ко­тором это частное положение возможно, т. е. из которого это положение можно вывести. Другими словами, мы данное част­ное положение сводим к общему принципу.

Примером применения синтеза может служить теорема: «во всяком треугольнике сумма его углов равняется двум прямым углам». Для доказательства этой теоремы мы должны принять следующих два общих положения: «внутренние накрест лежа­щие углы равны» и «всякая пара смежных углов равна двум прямым». Из этих общих положений мы выводим искомое положение.

Отношение анализа и синтеза к индукции и дедукции. Но, спра­шивается, в каком отношении находятся методы аналитический и синтетический к методам индуктивному и дедуктивному? От­ношение между ними таково, что анализ соответствует индукции, а синтез соответствует дедукции. Что анализ соответствует индукции, легко пояснить следую­щим образом.

Индукция имеет целью открытие законов, общих принципов. В процессе индукции мы идём от частных положений к общим принципам. Поэтому в процессе индукции мы совершаем регрес­сивный путь. Из этого следует, что индукция соответствует анализу.

Наоборот, дедукция выводит из общих принципов частные по­ложения, те или иные следствия. Из этого становится ясным родство дедуктивного метода с синтетическим. Синтетический метод состоит в том, что мы предполагаем известные принципы открытыми и доказанными; из этих общих принципов мы выво­дим следствия.

Что такое доказательство и чем оно отличается от силлогизма? Какие три части отличаем мы в доказательстве? Что такое основные принципы? Какое доказательство называется прямым? Какое доказательство называется косвенным? Изложите ход косвенного доказательства. Что называется методом? Что называется системой?. В каких двух случаях употребляется метод в научном мышлении? Какой метод называется аналитическим и какой синтетическим? По­чему синтетический метод называется прогрессивным, а аналитиче­ский регрессивным? Покажите применение методов аналитического н синтетического в математике. Какое существует отношение между методами аналитическим и синтетическим и методами индуктивным и дедуктивным?

Глава XXVI

Дата добавления: 2014-12-10