Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме

Стационарное уравнение Шредингера.

Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера — линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида

Такие состояния называются стационарными, так как в них сохраняется энергия системы E. Отсутствие явной зависимости гамильтониана от времени позволяет выполнить разделение переменных.

Рассмотрим одномерную "потенциальную яму"

где l – ширина "ямы", а энергия отсчитывается от ее дна.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в пределах ямы

За пределы "ямы" частица не проникает, поэтому волновая функция вне "ямы" равна нулю, следовательно, на границах "ямы" непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль

Этим граничным условиям удовлетворяет решение уравнения Шредингера: при . Поскольку то:

Таким образом, энергия частицы в бесконечно высокой потенциальной "яме" принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется.

Квантованные значения энергии Е_п называются уровнями энергии, а

число n, определяющее энергетические уровни частицы называется главным квантовым числом.

Собственные волновые функции

будет иметь вид

На рисунке изображены графики собственных функций (а) и плотность вероятности (б) обнаружения частицы на разных расстояниях от "стенок" ямы, определяемая выражением:

Дата добавления: 2014-12-16