Спосіб допоміжних площин

Алгоритм розв’язку задачі на визначення лінії перетину двох поверхонь S і ∆ такий:

1) вводимо допоміжну січну площину a, яка перетинає кожну із заданих поверхонь S і А по найбільш простих і вигідних для побудови лініях l і t;

2) визначаємо ці лінії перетину;

3) знаходимо точки (або N точок) перетину побудованих ліній.

К_і = l × t

Виконуючи зазначені побудови N разів, дістанемо проекції точок, які належать одночасно двом поверхням, що перетинаються. З’єднавши ці точки в певній послідовності, дістанемо шукану лінію перетину.

На рисунку 8.2 показано застосування допоміжних горизонтальних січних площин при побудові лінії перетину конуса з циліндром. Пошук точок лінії перетину поверхонь слід насамперед починати з опорних точок, оскільки вони дають змогу визначити кількість і положення посередників для точної побудови лінії перетину.

Окрім опорних точок, необхідно відшукати, якщо це можливо, ще й інші характерні точки кривої перетину, наприклад, найближчу і найдальшу, крайню зліва, крайню справа, точки найбільшої випуклості, точки, які дають границю видимості кривої тощо.

Точки 1 і 2 є, відповідно, найнижчою і найвищою точкою. Лінії перетину лежать на перетині очеркових ліній циліндра і конуса на p₂. Точки 5 і 6 відносяться до точок найближчої і найдальшої, а також є точками найбільшої випуклості і границями видимості лінії перетину на горизонтальній площині проекцій.

На рис. 8.2 показано побудову точок 4 і 3 лінії перетину на епюрі і на наочному зображенні. Допоміжна горизонтальна січна площина S перерізає конус по колу, а циліндр по двох твірних. Твірні і коло легко будуються на площині p₁, де і визначаємо точки 3₁ і 4₁, за якими знаходимо точки 3₂ і 4₂.

	Рисунок 8.2 ― Побудова лінії перетину конуса з циліндром способом допоміжних площин

Задача 1. Побудувати проекції лінії перетину призми та прямого кругового конуса (рис. 8.3).

Розв’язок задачі подано на рис. 8.3а,б,в,г в поетапному розв’язку, починаючи з умови задачі (рис. 8.3а). У даному випадку лінія перетину буде складною. Вона складатиметься з кола, яке одержимо від перетину верхньої грані призми і конуса (рис. 8.3б) і двох парабол, що будуть мати спільні точки 9 і 10 (рис. 8.3г). Вершини параболи будуть точками 3 і 4, пошук яких показано на рис. 8.3в.

Для розв’язування цієї задачі і знаходження точок лінії перетину застосуємо допоміжну горизонтальну січну площину S. Така площина перетинає призму прямокутником, а конус ─ колом (рис. 8.3). Це добре видно з наочного зображення для побудови точок 5, 6, 7, 8 за допомогою площини S. За аналогією введемо ще одну січну площину D і знайдемо точки, які будуть належати лінії перетину. З’єднуємо у певній послідовності побудовані точки і дістаємо лінію перетину цих двох поверхонь – дві параболи, по яких бічні грані призми перетинають поверхню конуса.

Задача 2. Побудувати проекції лінії перетину двох поверхонь, однією з яких є круговий конус, а другою - фронтально-проекційний циліндр (рис. 8.4).

Розв’язок задачі подано на рис 8.4а,б,в,г у поетапному розв’язку. Крайні ліва і права твірні конуса перетинаються з поверхнею циліндра у точках 1 і 2. За ними знаходимо 1₁ і 2₁. Точка 1 буде найвищою точкою перетину (рис. 8.4б).

Найнижчі точки перетину 3 і 4 побудовані за допомогою площини j, яка дотикається до найнижчої твірної циліндра (рис. 8.4б). Точки 5 і 6 розділяють видиму частину горизонтальної проекції лінії перетину від невидимої, визначені за допомогою горизонтальної площини a, яка проходить через середину циліндра.

Для побудови лінії перетину конуса і циліндра на рис. 8.4г застосуємо допоміжні горизонтальні січні площини, які перетинають циліндр по прямокутнику, а конус – по колу. У результаті перетину кожного прямокутника відповідним колом одержимо точки лінії перетину поверхонь.

З’єднаємо у певній послідовності побудовані точки і дістанемо просторову замкнену криву лінію перетину цих поверхонь. Невидима частина горизонтальної проекції лінії перетину зображена штриховою лінією.

		а)

Задача 3. Побудувати проекції лінії перетину конуса і кулі (рис. 8.5).

Для побудови точок перетину цієї лінії також вибираємо допоміжні горизонтальні площини, які перетинають обидві поверхні по колах. Ці кола на горизонтальну площину проекцій проеціюються у кола.

Спочатку, як і в попередніх задачах, знайдемо характерні точки. Точки 1 і 2 розташовані на перетині очеркових ліній фронтальної проекції і знаходяться у площині спільної симетрії поверхонь. Точки 3 і 4 знаходяться на екваторі кулі, знаходимо їх за допомогою площини a, яка перетинає кулю по екватору, а конічну поверхню – по відповідному колу. Горизонтальні проекції цих кіл перетинаються в точці 3₁ і 4₁. Вони лежать на лінії одного проекційного зв’язку до p₂, тому на фронтальній площині проекцій співпадають. Решту проміжних точок знаходимо за аналогією за допомогою горизонтальних площин.

На фронтальній площині проекцій не завжди побудована крива видима (невидима її частина закривається видимою), половина її знаходиться на заданій стороні даних поверхонь.

На горизонтальній проекції видима частина кривої відділяється від невидимої точками 3 і 4, що лежать на екваторі.

Задача 4. Побудувати проекції лінії перетину циліндра з півкулею (рис. 8.6).

Насамперед знайдемо характерні точки:

а) у точках 3 і 4 крайні ліва і права твірні циліндра перетинаються з поверхнею кулі. Щоб знайти ці точки, застосуємо фронтальну площину b, яка проходить через середину циліндра і перетинає кулю по колу, а циліндр по твірних;

б) у точках 9 і 10 головний меридіан кулі перетинає твірні циліндра;

в) найближча точка 5 і найвіддаленіша від спостерігача точка визначається за допомогою січних площин j і D. Проміжні точки лінії перетину знаходимо за допомогою допоміжних фронтальних площин. Так площина S перетинає поверхню кулі по колу, а поверхню циліндра – по твірних. На перетині цих ліній знаходимо точки 7 і 8 (рис. 8.6).

Найвища і найнижча точки перетину лежать на горизонтально-проекційній площині Y, що проходить через вісь циліндра і центр кулі. З’єднавши всі отримані точки лінії перетину у певній послідовності, дістанемо шукану лінію перетину.

Рисунок 8.6

При перетині двох циліндрів, які займають випадкове положення по відношенню до площин проекцій (рис.8.7), вигідно проводити допоміжні січні площини, паралельно твірним обох циліндрів. На рисунку 8.7а зображена загальна схема вирішення задачі. Для побудови вищезгаданих площин спочатку на вільному місці будуємо горизонтальний слід площини, яка паралельна твірним обох циліндрів. Через будь-яку точку К проводимо прямі КМ₁ і КМ₂, які паралельні твірним І і ІІ циліндрів. Горизонтальний слід вищезаданої площини α проходить через горизонтальні сліди М₁ і М₂ прямих АМ₁ і АМ₂.

Допоміжні площини, паралельні площині α, будуть перетинати циліндри по їх твірних. Горизонтальний слід площини α перетинає основи обох циліндрів у точках А, В, С, D, через які пройдуть твірні циліндрів – лінії перетину циліндрів з допоміжною площиною. Твірні, перетинаючись між собою, дають точки перетину 1,2,3,4, які належать шуканій лінії перетину поверхонь циліндрів між собою.

На рисунку 8.7б зображено розв’язок задачі на епюрі. Порядок побудови не різниться від розглянутого вище.

Характерними точками кривої є точки, які лежать на окреслюючих твірних одного циліндра і перетинають поверхню другого (наприклад, площина ρ₁ і дасть спільну точку 17).

	б)
	а)
		Рисунок 8.7

При перетині циліндра з конусом у загальному випадку (рис.8.8) допоміжні площини доцільно проводити через вершину конуса і паралельно твірній циліндра.

У цьому випадку обидві поверхні будуть перетинатися з допоміжними площинами по прямих лініях, які є твірними поверхонь.

Практично задача вирішується так: через вершину S конуса проводять пряму SM, паралельно до твірних циліндра; будь-яка площина, що проходить через пряму SM, буде задовольняти розглянутій вище умові.

Якщо основи конуса і циліндра розміщені в площині π₁, тоді визначають слід М прямої SM і через нього проводимо горизонтальні допоміжні площини. Подальший розв’язок не відрізняється від попереднього випадку.

Якщо перетинаються два конуси, в загальному випадку (рис.8.9) допоміжні площини повинні проходити через вершини обох конусів: тоді вони будуть перетинати поверхні конусів по твірних. Іншими словами, допоміжні площини мають проходити через пряму S₁S₂, яка з’єднує вершину конусів.

Наступні побудови такі самі, як у попередньому випадку.

	Рисунок 8.8 ― Доцільність вибору допоміжної січної площини		Рисунок 8.9 ― Доцільність вибору допоміжної січної площини

Всі можливі випадки взаємного перетину тіл можуть бути розглянуті за допомогою схеми, яка показана на рисунку 8.10. Ця схема дозволяє визначити границі, в яких необхідно проводити допоміжні площини.

Випадок 1 (рис.8.10а). Тіло І повністю перетинає тіло ІІ. Іншими словами, всі твірні першого тіла перетинають поверхню другого. Лінія перетину являє собою дві замкнуті криві.

Допоміжні площини проводять у границях між площинами δ і φ.

Випадок 2 (рис.8.10б). Тут ми зустрічаємось з неповним врізанням, частина твірних першого тіла не перетинає поверхню другого і частина твірних другого тіла не перетинає поверхню першого.

Допоміжні площини проводять у границях між площинами δ і φ. Лінія перетину є суцільною просторовою кривою.

Випадок 3 (рис.8.10в). Тут ми маємо односторонній дотик; можна провести площину, дотичну до обох поверхонь.

Дата добавления: 2014-12-16