Опір R схеми визначається методом еквівалентних перетворень схеми до загального опору відносно клем a, b при відключеному навантаженні і заморочених внутрішніх ЕРС. 2 страница

§ позначаються довільно обрані напрямки струмів;

§ складають рівняння за першим законом Кірхгофа для всіх вузлових точок, крім однієї. Якщо схема містить n вузлів, то незалежних рівнянь можна скласти тільки для (n – 1) вузлів. Рівняння, складене для останнього n– го вузла, буде комбінацією вже складених рівнянь (тобто лінійно залежним) і не дозволить отримати рішення, так як система, що містить залежні рівняння, має нескінченну кількість рішень;

§ складають рівняння, яких за кількістю бракує, за другим законом Кірхгофа (відомо, що для розв’язання системи необхідно, щоб кількість незалежних рівнянь дорівнювало кількості невідомих в даному випадку струмів);

§ розв’язують складену систему рівнянь і визначають невідомі струми. Якщо значення деяких струмів від’ємні, то це означає, що їх фактичний напрямок протилежний умовно прийнятому для них напрямку на початку розрахунку.

Приклад. Визначити розподіл струмів в схемі:

Вихідні дані:

E ₁ = 72 В; E 2 = 43 В; R ₁ = 3 Ом; R ₂ = 4 Ом; R ₃ = 6 Ом; _{R 4} = 10 Ом; R ₅ = 15 Ом.

Попередньо спрощуємо схему і знайдемо опір, еквівалентний опорам R ₃; R ₄; R ₅:

.

Отримаємо спрощену схему, на якій довільно відмічаємо позитивні напрямки невідомих струмів І ₁, І ₂, І ₃.

Схема має два вузли А та В і два контури. Застосовуючи до вузла А і до двох контурів закони Кірхгофа складаємо три рівняння.

.

Розв’язуємо систему рівнянь:

І ₃ = 6 – 1,5 = 4,5 А.

Отже: І ₁ = 6 А; І ₂ = –1,5 А; І ₃ = 4,5 А.

Отриманий від’ємний знак у величині струму І ₂ = –1,5 А означає, що в дійсності цей струм направлений в бік, протилежний напрямку стрілки, що позначає на схемі струм І ₂.

Струм І ₃ розподіляється між паралельними вітками R ₄і R ₅ зворотно пропорційно їх опорам

звідки

Метод суперпозиції.

Метод суперпозиції (накладання) оснований на принципі незалежності дії ЕРС. Відповідно з цим принципом струм в будь–якій вітці кола з постійними опорами можна уявити як суму часткових струмів, створених в цій вітці кожною з ЕРС окремо.

Розрахунок складного кола за цим методом виконується, поклавши всі ЕРС, крім однієї, рівними нулю. При цьому зберігають незмінними всі опори кола (включаючи опори джерел живлення, ЕРС яких покладені рівними нулю). Для отриманої схеми вже простого кола визначаються струми в усіх вітках.

Такий розрахунок виконується стільки разів, скільки ЕРС діє в колі, що досліджується. Реальний струм в кожній вітці визначається як алгебраїчна сума знайдених часткових струмів.

Відзначимо, що метод суперпозиції можна застосовувати тільки для електричних кіл, в яких опори не залежать від струмів, що по них протікають (такі опори називаються лінійними).

Метод контурних струмів.

При розрахунку складних кіл, що складаються з великої кількості вузлів, переважним є метод контурних струмів, який дозволяє скоротити загальну кількість рівнянь в системі.

Сутність методу розглянемо на схемі складного кола з вузлами A, B, C, D.

Ця схема включає три контури ABCA (І), ADBA (ІІ), CBDC (ІІІ). Кожному контуру умовно приписують довільно направлений контурний струм, однаковий для всіх ділянок цього контуру І _І, І _ІІ, І _ІІІ. У вітках, які є спільними для двох суміжних контурів, фактичний струм дорівнює алгебраїчній сумі двох контурних струмів. Тут:

у вітці АВ протікає струм І ₂ = І _ІІ – І _І,

у вітці ВС – струм І ₅ = І _І – І _ІІІ,

у вітці DB – І ₄ = І _ІІ – І _ІІІ.

Застосовуючи до кожного з контурів другий закон Кірхгофа, отримаємо систему з кількістю рівнянь, рівною кількості невідомих контурних струмів:

Розв’язавши систему і визначивши контурні струми І _І, І _ІІ, І _ІІІ, неважко знайти струми у вітках схеми: І ₁ = І _І, І ₂ = І _ІІ – І _І, І ₃ = І _ІІ, І ₄ = І _ІІ – І _ІІІ, І ₅ = І _І – І _ІІІ, І ₆ = І _ІІІ.

Зауважимо, що при безпосередньому використанні законів Кірхгофа для розрахунку цієї схеми необхідно було б розв’язати систему з шести рівнянь.

Метод вузлових напруг.

Коли електричне коло складається з великої кількості контурів при невеликій кількості вузлів, її розрахунок і аналіз доцільно здійснювати методом вузлових напруг (або метод вузлових потенціалів).

Якщо кількість вузлів в схемі n, то кількість рівнянь, необхідних для розрахунку такого кола дорівнює (n – 1). Невідомими величинами в цих рівняннях є так звані вузлові напруги. У відповідності з цим методом потенціал в одному з вузлів схеми приймають рівним нулю. Інші вузли схеми будуть мати відносно вузла із нульовим потенціалом вузлові напруги U ₁, U ₂, …, U _{n – 1}.

Струм в кожній вітці схеми визначається напругами, прикладеними до вузлів вітки (вузловими напругами), ЕРС, якщо вітка їх містить і опором вітки.

Далі, використовуючи вирази для струмів, складають рівняння за першим законом Кірхгофа для кожного вузла схеми за виключенням вузла з нульовою напругою. Сукупність таких рівнянь утворює систему рівнянь відносно невідомих вузлових напруг.

При складанні рівняння для будь–якого і –го вузла можна скористатись вже готовою універсальною формулою:

,

за якою:

§ добуток вузлової напруги в і –тому вузлі на суму провідностей віток між і –тим і кожним з сусідніх з і –тим вузлами,

§ мінус сума добутків вузлових напруг в кожному сусідньому з і –тим вузлі на провідність вітки між цим вузлом і і –тим,

§ дорівнює сумі добутків ЕРС у вітці між і– тим і кожним сусіднім з і –тим вузлі (якщо вона є у цій вітці) на провідність цієї вітки.

Складові Е _ij беруться із знаком “+”, якщо ЕРС направлена до і –го вузла і із знаком “–”, якщо вона направлена від і –го вузла.

Розв’язавши систему відносно U _і, можна визначити струми у вітках.

Розглянемо розрахунок електричного кола за цим методом на прикладі такої схеми:

Довільно пронумеруємо вузли схеми, починаючи з нуля. Потенціал у вузлі № 0 приймаємо рівним нулю. Використовуючи наведену формулу, складаємо рівняння для інших вузлів:

§ для вузла № 1:

§ для вузла № 2:

§ для вузла № 3:

Після розв’язання системи рівнянь відносно невідомих U ₁, U ₂, U ₃, тобто визначення їх значень, розраховуємо струми у вітках. Для цього розглянемо кожну вітку окремо.

§ Вітка з вузлами 0 – 1.

Дія прикладеної до вузлів напруги U ₁ рівноцінна дії включеної ЕРС Е = U ₁. Для такого штучно утвореного контуру складається рівняння за другим законом Кірхгофа IR ₄ = U ₁. З якого: I = U ₁/ R ₄.

Аналогічно для інших віток.

§ Вітка з вузлами 0 – 2.

IR ₅ = U ₂ Þ I = U ₂ / R ₅.

§ Вітка з вузлами 0 – 3.

IR ₂ = Е ₂ + U ₃ Þ I = (Е ₂ + U ₃) / R ₅.

§ Вітка з вузлами 1 – 2.

IR ₃ = – Е ₃ – Е ₁ – U ₂ + U ₁ Þ I = (– Е ₃ – Е ₁ – U ₂ + U ₁) / R ₃.

§ Вітка з вузлами 2 – 3.

IR ₁ = – U ₂ + U ₃ Þ I = (– U ₂ + U ₃) / R ₁.

§ Вітка з вузлами 1 – 3.

IR ₆ = – U ₁ + U ₃ Þ I = (– U ₁ + U ₃) / R ₆.

Зауваження щодо аналогій з фізичними системами іншої природи.

Рівняння законів Кірхгофа є окремим випадком загального підходу до аналізу фізичних систем різноманітної природи. Цей підхід обумовлений наявністю аналогій між різнорідними фізичними системами – механічними, гідравлічними, пневматичними, тепловими, електричними. Так аналогом електричної напруги є тиск, температура, швидкість; аналогом електричного струму – механічні сили і потоки рідини, газу, теплоти. Подібні аналогії давно помічені і широко використовуються для аналізу об’єктів. На принципі аналогій основана дія аналогових обчислювальних машин (АОМ).

Аналогом першого закону Кірхгофа є рівняння рівноваги – рівняння потоків у вузлах з’єднання елементів. Аналогом другого закону Кірхгофа є рівняння сумісності – рівняння сумісності тисків, температур або швидкостей (переміщень) в будь–якому замкнутому контурі. Наприклад, для пружної механічної системи рівняння рівноваги повинні бути записані для проекцій сил на кожну координатну вісь і для обертальних моментів відносно кожної координатної осі, а рівняння сумісності деформацій виражають цілісність конструкції і уявляють собою рівність нулю сумарної деформації елементів вздовж будь–якого замкнутого контуру; для пневматичної і гідравлічної системи рівняння рівноваги – сума потоків в будь–якому вузлі системи дорівнює нулю, а рівняння сумісності – сума тисків вздовж будь–якого контуру дорівнює нулю; для теплової системи – сума теплових потоків у вузлі і сума температур вздовж контуру дорівнює нулю.

Встановлення аналогій обумовлює можливість викладання питань моделювання різних технічних об’єктів з єдиних позицій і дозволяє одні і ті ж математичні методи застосовувати для розв’язання задач з різним фізичним змістом (в різних галузях техніки розроблені методи, що мають хоч і різні назви, але однакову сутність).

Наприклад, метод вузлових напруг та метод контурних струмів для моделювання електричних систем і метод переміщень та метод сил в будівельній механіці.

Метод вузлових напруг і метод переміщень з формальної точки зору уявляють собою один і той же метод, який називають вузловим методом. Дійсно, і метод вузлових напруг, і метод переміщень ґрунтуються на використанні рівняння рівноваги; як основні величини, що характеризують стан об’єкту, вибрані змінні, що відносяться до вузлів еквівалентної схеми. Вузловий метод успішно використовується для моделювання гідравлічних систем і вважається одним з найбільш ефективним для отримання математичних моделей.

Контурний метод в теорії електричних кіл відомий як метод контурних струмів, а в будівельній механіці – як метод сил. Цей метод також використовується для отримання математичних моделей у вигляді системи алгебро–диференціальних рівнянь.

Метод еквівалентного генератора.

На практиці часто буває необхідним знайти величину струму тільки в одній з віток складного кола. В таких випадках найбільш ефективним є метод еквівалентного генератора.

Суть методу полягає в тому, що будь–яке складне коло уявляється еквівалентною схемою у вигляді активного двополюсника – одна ЕРС E і один резистор з опором R. Параметри цього активного двополюсника E і R визначаються в режимі холостого ходу, тобто при відключенні від клем реального кола вітки, в якій необхідно знайти струм. ЕРС Е активного двополюсника дорівнює напрузі холостого ходу на клемах реального кола, до яких повинна бути приєднана вітка, а значення внутрішнього опору R дорівнює опору кола між цими клемами при умові, що всі ЕРС в реальному колі дорівнюють нулю.

Оскільки активний двополюсник по суті є джерелом ЕРС, тобто генератором, то звідси і витікає відповідна назва методу.

На малюнку показане складне електричне активне (тобто містить джерела електроенергії) коло з винесеною віткою ab, в якій визначається струм, і поруч її еквівалентна схема.

Струм у вітці ab: I _н = Е / (R + R _н).

Напруга U _{х. х} = Е еквівалентної схеми генератора визначається розрахунком кола при відключеному навантаженні R _н будь–яким з відомих методів розрахунку складних кіл або експериментально.

Приклад. Визначити струм у вітці ad зображеної схеми.

Вихідні дані:

Е ₁ = 12 В; Е ₂ = 20 В; R ₁ = 12 Ом; R ₂ = 35 Ом; R ₃ = 32 Ом; R ₄ = 6 Ом; R ₅ = 10 Ом; R ₆ = 15 Ом.

Розрахунок:

Визначаємо напругу холостого ходу вітки ad – U _x.x. Для цього виключаємо з схеми вітку з опором R ₁. Використовуючи метод контурних струмів, складаємо рівняння для контуру abca (І _abca) і bdcb (І _bdcb):

Звідки І _abca = –0,398» –0,4 A; I _bdcb = –0,379» –0,4 A і, отже І ₂ = – І _abca = 0,4 A; І 5 = I _bdcb = –0,4 A.

Рівняння за другим законом Кірхгофа для контуру adca:

Е ₂ – U _x.x = I ₂ R ₂ – I ₅ R ₅ Þ U _x.x = Е ₂ – I ₂ R ₂ + I ₅ R ₅ = –14 + 20 – 45 = 2 В.

Визначаємо R схеми. Для цього перетворюємо трикутник опорів abc в еквівалентну зірку. При закорочених ЕРС Е ₁ і Е ₂ схема матиме вид:

Лекція 4. Нелінійні опори та перехідні процеси.

Дата добавления: 2014-11-29