Метод Симпсона (метод парабол)

Метод трапеций

Выведем формулу трапеций так же, как и формулу прямоугольников, из геометрических соображений. Заменим график функции y = f (x) (рис.5.1) ломаной линией (рис.5.7), полученной следующим образом. Из точек a = x ₀, x ₁, x ₂ ,…, x_n = b проведем ординаты до пересечения с кривой y = f (x). Концы ординат соединим прямолинейными отрезками.

Рис. 5.7

Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно можно считать равной площади фигуры, составленной из трапеций. Так как площадь трапеции, построенной на отрезке [ x_i, x_{i+ 1}] длины h =, равна h, то, пользуясь этой формулой для i = 0, 2, …, n - 1, получим квадратурную формулу трапеций:

I=I _тр = h= (5.7)

Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы трапеций воспользуемся следующей теоремой.

Теорема 5.2. Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [ a, b ]. Тогда для формулы трапеций справедлива следующая оценка погрешности:

| I - I _тр | h ², (5.8)

где M ₂ = | f "(x)|.

Пример 5.2.

Вычислим значение интеграла по формуле трапеций (5.7) и сравним полученный результат с результатом примера 5.1.

Используя таблицу значений функции e из примера 5.1 и производя вычисления по формуле трапеций (5.7), получим: I _тр = 0.74621079.

Оценим погрешность полученного значения. В примере (5.1) получили оценку: | f "(x)| M ₂ = 2. Поэтому по формуле (5.8)

I - I _тр | (0.1)² 1.7 10^-3.

Сравнивая результаты примеров 5.1 и 5.2, видим, что метод средних прямоугольников имеет меньшую погрешность, т.е. он более точный.

Заменим график функции y = f (x) на отрезке [ x_i, x_{i+ 1}], i = 0, 2, …, n - 1, параболой, проведенной через точки (x_i, f (x_i)), (x,f (x)), (x_{i+ 1}, f (x_{i+ 1})), где x - середина отрезка [ x_i, x_{i+ 1}]. Эта парабола есть интерполяционный многочлен второй степени L ₂(x) с узлами x_i, x, x_{i+ 1}. Нетрудно убедиться, что уравнение этой параболы имеет вид:

y = L ₂(x) =

f (x) + (x - x) + (x - x)², (5.9)

где h =.

Проинтегрировав функцию (5.9) на отрезке [ x_i, x_{i+ 1}], получим

I_i = = (f (x_i) + 4 f (x) + f (x_{i+ 1})). (5.10)

Суммируя выражение (5.10) по i = 0, 1, 2, …, n - 1, получим квадратурную формулу Симпсона (или формулу парабол):

I = I _С = (f (x ₀) + f (x_n) + 4 + 2). (5.11)

Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы Симпсона воспользуемся следующей теоремой.

Теорема 5.2. Пусть функция f имеет на отрезке [ a, b ] непрерывную производную четвертого порядка f ⁽⁴⁾(x). Тогда для формулы Симпсона (5.9) справедлива следующая оценка погрешности:

| I - I _С | h ⁴, (5.12)

где M ₄ = | f ⁽⁴⁾(x)|.

Замечание. Если число элементарных отрезков, на которые делится отрезок [ a, b ], четно, т.е. n = 2 m, то параболы можно проводить через узлы с целыми индексами, и вместо элементарного отрезка [ x_i, x_{i+ 1}] длины h рассматривать отрезок [ x _{2 i} , x _{2 i+ 2}] длины 2 h. Тогда формула Симпсона примет вид:

I (f (x ₀) + f (x _{2 m} ) + 4 + 2), (5.13)

а вместо оценки (5.10) будет справедлива следующая оценка погрешности:

| I - I _С | h ⁴, (5.14)

Пример 5.3.

Вычислим значение интеграла по формуле Симпсона (5.11) и сравним полученный результат с результатами примеров 5.1 и 5.2.

Используя таблицу значений функции e из примера 5.1 и производя вычисления по формуле Симпсона (5.11), получим:

I _С = 0.74682418.

Оценим погрешность полученного значения. Вычислим четвертую производную f ⁽⁴⁾(x).

f ⁽⁴⁾(x) = (16 x ⁴ - 48 x ² + 12) e, | f ⁽⁴⁾(x)| 12.

Поэтому

| I - I _С | (0.1)⁴ 0.42 10^-6.

Сравнивая результаты примеров 5.1, 5.2 и 5.3, видим, что метод Симпсона имеет меньшую погрешность, чем метод средних прямоугольников и метод трапеций.

Дата добавления: 2014-11-29