Плоскі та планарні графи

У багатьох випадках не має особливого значення, як зобразити граф у вигляді рисунка на площині (діаграми), оскільки ізоморфні графи подібні за своєю структурою і містять ту саму інформацію. Однак існують ситуації, коли необхідно, щоб зображення графа на площині задовольняло певні умови. Наприклад, якщо граф є моделлю деякої електронної схеми або транспортної мережі, де вершинами є окремі елементи схеми або станції, а ребрами, відповідно, - електричні провідники і шляхи, то бажано так розташувати ці ребра на площині, щоб уникнути перетинів.

Таким чином виникає поняття плоского графа.

Граф називається плоским, якщо його діаграму можна зобразити на площині так, що лінії, які відповідають ребрам графа, не перетинаються (тобто мають спільні точки тільки у вершинах графа). Таке зображення називається плоскою картою графа.

Граф називають планарним, якщо він ізоморфний деякому плоскому графу.

Наприклад, граф, зображений на рис., планарний, оскільки він ізоморфний графу, зображеному поруч. Простий цикл, дерево і ліс - це також планарні графи.

Про планарні графи кажуть, що вони укладаються на площині або мають плоске укладання.

а) б)

Рис.

При дослідженні плоских графів особливе місце займають графи K ₅ i K _3,3, зображені на рис.

K ₅ K _3,3

Рис.

Граф K _3,3 виникає із задачі про три хати і три криниці.

Теорема. Графи K ₅ i K _3,3 не є планарними.

Значення графів K ₅ i K _3,3 полягає в тому, що вони є "єдиними" суттєво непланарними графами. Всі інші непланарні графи містять у собі підграфи "подібні" до K ₅ або K _3,3. Характер цієї подібності розкривається за допомогою таких понять.

Елементарним стягуванням графа G =(V, E) називається вилучення в графі G деякого ребра (v_i, v_j)Î E і злиття вершин v_i i v_j в одну вершину v, причому v інцидентна всім тим відмінним від (v_i, v_j) ребрам графа G, які були інцидентні або v_i, або v_j.

Кажуть, що граф G стягується до графа G ¢, якщо G ¢ можна отримати з G за допомогою послідовності елементарних стягувань.

Приклад. На рис. зображено графи G i G ¢, при цьому G стягується до G ¢.

G G ¢

Рис.

Наведемо без доведення важливу теорему теорії графів.

Теорема (теорема Куратовського). Граф G є планарним тоді і тільки тоді, коли він не містить підграфів, що стягуються до K ₅ або K _3,3.

Дата добавления: 2014-11-29