Механические колебания

Потенциальная энергия тела массы m, находящегося на расстоянии r от неподвижного тела массы M, равна работе гравитационных сил при перемещении массы m из данной точки в бесконечность.

Математическая процедура вычисления потенциальной энергии тела в гравитационном поле состоит в суммировании работ на малых перемещениях (рис. 1.24.5).

Рисунок 1.24.5. Вычисление потенциальной энергии тела в гравитационном поле.

Закон всемирного тяготения применим не только к точеным массам, но и к сферически симметричным телам. Работа Δ A _i гравитационной силы на малом перемещении есть:

Полная работа при перемещении тела массой m из начального положения в бесконечность находится суммированием работ Δ A _i на малых перемещениях:

В пределе при Δ r _i → 0 эта сумма переходит в интеграл. В результате вычислений для потенциальной энергии получается выражение

Знак «минус» указывает на то, что гравитационные силы являются силами притяжения.

Если тело находится в гравитационном поле на некотором расстоянии r от центра тяготения и имеет некоторую скорость υ, его полная механическая энергия равна

В соответствии с законом сохранения энергии полная энергия тела в гравитационном поле остается неизменной.

Полная энергия может быть положительной и отрицательной, а также равняться нулю. Знак полной энергии определяет характер движения небесного тела (рис. 1.24.6).

При E = E ₁ < 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние r > r _max. В этом случае небесное тело движется по эллиптической орбите (планеты Солнечной системы, кометы).

Рисунок 1.24.6. Диаграмма энергий тела массой m в гравитационном поле, создаваемом сферически симметричным телом массой M и радиусом R.

При E = E ₂ = 0 тело может удалиться на бесконечность. Скорость тела на бесконечности будет равна нулю. Тело движется по параболической траектории.

При E = E ₃ > 0 движение происходит по гиперболической траектории. Тело удаляется на бесконечность, имея запас кинетической энергии.

Законы Кеплера применимы не только к движению планет и других небесных тел в Солнечной системе, но и к движению искусственных спутников Земли и космических кораблей. В этом случае центром тяготения является Земля.

Первой космической скоростью называется скорость движения спутника по круговой орбите вблизи поверхности Земли.

Второй космической скоростью называется минимальная скорость, которую нужно сообщить космическому кораблю у поверхности Земли, чтобы он, преодолев земное притяжение, превратился в искусственный спутник Солнца (искусственная планета). При этом корабль будет удаляться от Земли по параболической траектории.

Рис. 1.24.7 иллюстрирует космические скорости. Если скорость космического корабля равна υ₁ = 7.9·10³ м/с и направлена параллельно поверхности Земли, то корабль будет двигаться по круговой орбите на небольшой высоте над Землей. При начальных скоростях, превышающих υ₁, но меньших υ₂ = 11,2·10³ м/с, орбита корабля будет эллиптической. При начальной скорости υ₂ корабль будет двигаться по параболе, а при еще большей начальной скорости – по гиперболе.

Рисунок 1.24.7. Космические скорости. Указаны скорости вблизи поверхности Земли. 1 – υ = υ₁ – круговая траектория; 2 – υ₁ < υ < υ₂ – эллиптическая траектория; 3 – υ = 11,1·10³ м/с – сильно вытянутый эллипс; 4 – υ = υ₂ – параболическая траектория; 5 – υ > υ₂ – гиперболическая траектория; 6 – траектория Луны.

Глава 2. Механические колебания и волны

Дата добавления: 2014-12-07