Разработка стандарта

V V

V V

Вычисление дискретных логарифмов в конечной группе

Криптографы интересуются дискретными логарифмами следующих трех групп:

— Мультипликативная группа полей простых чисел: G¥(p)

— Мультипликативная группа конечных полей степеней 2: GF(2")

— Группы эллиптической кривой над конечными полями F: EC(F)

Безопасность многих алгоритмов с открытыми ключами основана на задаче поиска дискретных логарифмов, поэтому эта задача была глубоко изучена. Хороший подробный обзор этой проблемы и ее наилучшие решения на соответствующий момент времени можно найти в [1189, 1039]. Лучшей современной статьей на эту тему является [934].

Если р является простым числом и используется в качестве модуля, то сложность поиска дискретных лог а-рифмов в GF(p) по существу соответствует разложению на множители числа п того же размера, где п - это про­изведение двух простых чисел приблизительно равной длины [1378,934]. То есть:

_е(1 + 0(1))(1п(п))Л(1п((1п(и)))Л

Решето числового поля быстрее, оценка его эвристического времени выполнения:

_е(1.923 + 0(1))(1п(п))Л(1п((1п(и)))/з

Стивен Полиг (Stephen Pohlig) и Мартин Хеллман нашли способ быстрого вычисления дискретных лог а-рифмов в GF(p) при условии, что р - 1 раскладывается на малые простые множители [1253]. По этой причине в криптографии используются только такие поля, для которых р - 1 обладает хотя бы одним большим простым множителем. Другой алгоритм [14] вычисляет дискретных логарифм со скоростью, сравнимой с разложением на множители, он был расширен на поля вида GF(/) [716]. Этот алгоритм был подвергнут критике в [727] по ряду теоретических моментов. В других статьях [1588] можно увидеть, насколько на самом деле трудна пр о-блема в целом.

Вычисление дискретных логарифмов тесно связано с разложением на множители. Если вы можете решить проблему дискретного логарифма, то вы можете и разложить на множители. (Истинность обратного никогда не была доказана.) В настоящее время существует три метода вычисления дискретных логарифмов в поле простого числа [370, 934, 648]: линейное решето, схема целых чисел Гаусса и решето числового поля.

Предварительное, объемное вычисление для поля должно быть выполнено только один раз. Затем, быстро можно вычислять отдельные логарифмы. Это может серьезно уменьшить безопасность систем, основанных на таких полях. Важно, чтобы различные приложения использовали различные поля простых чисел. Хотя нескол ь-ко пользователей одного приложения могут применять общее поле.

В мире расширенных полей исследователями не игнорируются и GF(2 "). Алгоритм был предложен в [727]. Алгоритм Копперсмита (Coppersmith) позволяет за приемлемое время находить дискретные логарифмы в таких полях как GF(2¹²⁷) и делает принципиально возможным их поиск в полях порядка GF(2⁴⁰⁰) [368]. В его основе лежит [180]. У этого алгоритма очень велика стадия предварительных вычислений, но во всем остальном он хорош и эффективен. Реализация менее эффективной версии этого же алгоритма после семи часов предвар и-тельных вычислений тратила на нахождение каждого дискретного логарифма в поле GF(2 ¹²⁷) лишь несколько

секунд [ИЗО, 180]. (Это конкретное поле, когда-то использовавшееся в некоторых криптосистемах [142, 1631, 1632], не является безопасным.) Обзор некоторых из этих результатов можно найти в [1189, 1039].

Позднее были выполнены предварительные вычисления для полей GF(2 ²²⁷), GF(2³¹³) и GF(2⁴⁰¹), удалось зна­чительно продвинуться и для поля GF(2⁵⁰³). Эти вычисления проводились на nCube-2, массивном параллельном компьютере с 1024 процессорами [649, 650]. Вычисление дискретных логарифмов в поле GF(2 ⁵⁹³) все еще нахо­дится за пределами возможного.

Как и для нахождения дискретных логарифмов в поле простого числа, для вычисления дискретных лог а-рифмов в полиномиальном поле также требуется один раз выполнить предварительные вычисления. Тахер Эль-Джамаль (Taher EIGamal) [520] приводит алгоритм вычисления дискретных логарифмов в поле GF(р²).

Глава 12 Стандарт шифрования данных DES (Data Encryption Standard)

12.1 Введение

Стандарт шифрования данных DES (Data Encryption Standard), который ANSI называет Алгоритмом ши ф-рования данных DEA (Data Encryption Algorithm), a ISO - DEA-1, за 20 лет стал мировым стандартом. Хотя на нем и появился налет старости, он весьма прилично выдержал годы криптоанализа и все еще остается безопа с-ным по отношению ко всем врагам, кроме, возможно, самых могущественных.

В начале 70-х годов невоенные криптографические исследования были крайне редки. В этой области почти не публиковалось исследовательских работ. Большинство людей знали, что для своих коммуникаций военные используют специальную аппаратуру кодирования, но мало кто разбирался в криптографии как в науке. Заме т-ными знаниями обладало Агентство национальной безопасности (National Security Agency, NSA), но оно даже не признавало публично своего собственного существования.

Покупатели не знали, что они покупают. Многие небольшие компании изготавливали и продавали крипт о-графическое оборудование, преимущественно заокеанским правительствам. Все это оборудование отличалось друг от друга и не могло взаимодействовать. Никто не знал, действительно ли какое-либо из этих устройств безопасно, не существовало независимой организации, которая засвидетельствовала бы безопасность. Как гов о-рилось в одном из правительственных докладов [441]:

Влияние соответствующего изменения ключей и принципов работы на реальную мощь аппаратуры шифров а-ния/дешифрирования было (и фактически осталось) неизвестным почти всем покупателям, и было очень трудно принимать обоснованные решения о генерации ключей, правильном диалоговом или автономном режиме, и т.д., которые отвечали бы потребностям покупателей в безопасности.

В 1972 году Национальное бюро стандартов (National Bureau of Standards, NBS), теперь называющееся Н а-циональным институтом стандартов и техники (National Institute of Standards and Technology, NIST), выступило инициатором программы защиты линий связи и компьютерных данных. Одной из целей этой программы была разработка единого, стандартного криптографического алгоритма. Этот алгоритм мог бы быть проверен и се р-тифицирован, а использующие его различные криптографические устройства могли бы взаимодействовать. Он мог бы, к тому же, быть относительно недорогим и легко доступным.

15 мая 1973 года в Federal Register NBS опубликовало требования к криптографическому алгоритму, кото­рый мог бы быть принят в качестве стандарта. Было пр иведено несколько критериев оценки проекта:

— Алгоритм должен обеспечивать высокий уровень безопасности.

— Алгоритм должен быть полностью определен и легко понятен.

— Безопасность алгоритма должна основываться на ключе и не должна зависеть от сохранения в тайне с а-мого алгоритма.

— Алгоритм должен быть доступен всем пользователям.

— Алгоритм должен позволять адаптацию к различным применениям.

— Алгоритм должен позволять экономичную реализацию в виде электронных приборов.

— Алгоритм должен быть эффективным в использовании.

— Алгоритм должен предоставлять возможности проверки.

— Алгоритм должен быть разрешен для экспорта.

Реакция общественности показала, что к криптографическому стандарту существует заметный интерес, но опыт в этой области чрезвычайно мал. Ни одно из предложений не удовлетворяло предъявленным требованиям.

27 августа 1972 года в Federal Register NBS опубликовало повторное предложение. Наконец, у Бюро появи л-ся подходящий кандидат: алгоритм под именем Люцифер, в основе которого лежала разработка компании IBM, выполненная в начале 70-х (см. раздел 13.1). В IBM существовала целая команда криптографов, работавшая в Кингстоне (Kingston) и Йорктаун Хайте (Yorktown Heights), в которую входили Рой Адлер (Roy Adler), Дон Копперсмит (Don Coppersmith), Хорст Фейстель (Horst Feistel), Эдна Кроссман (Edna Crossman), Алан Конхейм (Alan Konheim), Карл Майер (Carl Meyer), Билл Ноц (Bill Notz), Линн Смит (Lynn Smith), Уолт Тачмен (Walt Tuchman) и Брайант Такерман (Bryant Tuckerman).

Несмотря на определенную сложность алгоритм был прямолинеен. Он использовал только простые логич е-

ские операции над небольшими группами битов и мог быть довольно эффективно реализован в аппаратуре.

NBS попросило NSA помочь оценить безопасность алгоритма и определить, подходит ли он для использов а-ния в качестве федерального стандарта. IBM уже получила патент [514], но желала сделать свою интеллект у-альную собственность доступной для производства, реализации и использования другими компаниями. В конце концов, NBS и IBM выработали соглашение, по которому NBS получало неисключительную, бесплатную л и-цензию изготавливать, использовать и продавать устройства, реализующие этот алгоритм.

Наконец, 17 марта 1975 года в Federal Register NBS опубликовало и подробности алгоритма, и заявление IBM о предоставлении неисключительной, бесплатной лицензии на алгоритм, а также предложило присылать комментарии по поводу данного алгоритма [536]. В другой заметке в Federal Register, 1 августа 1975 года, раз­личным организациям и широкой публике снова предлагалось прокомментировать предложенный алгоритм.

И комментарии появились [721, 497, 1120). Многие настороженно относились к участию "невидимой руки" NSA в разработке алгоритма. Боялись, что NSA изменит алгоритм, вставив в него потайную дверцу. Жалов а-лись, что NSA уменьшило длину ключей с первоначальных 128 битов до 56 (см. раздел 13.1). Жаловались на внутренние режимы работы алгоритма. Многие соображения NSA стали ясны и понятны в начале 90-х, но в 70-х они казались таинственными и тревожными.

В 1976 году NBS провело два симпозиума по оценке предложенного стандарта. На первом обсуждались м а-тематика алгоритма и возможность потайной дверцы [1139]. На втором - возможности увеличения длины ключа алгоритма [229]. Были приглашены создатели алгоритма, люди, оценивавшие алгоритм, разработчики аппар а-туры, поставщики, пользователи и критики. По всем отчетам симпозиумы были весьма ожи вленными [1118].

Несмотря на критику Стандарт шифрования данных DES 23 ноября 1976 года был принят в качестве фед е-рального стандарта [229] и разрешен к использованию на всех несекретных правительственных коммуникац и-ях. Официальное описание стандарта, FIPS PUB 46, "Data Encryption Standard", было опубликовано 15 января 1977 года и вступило в действие шестью месяцами позже [1140]. FIPS PUB 81, " Modes of DES Operation" (Режимы работы DES), было опубликовано в 1980 году [1143]. FIPS PUB 74, "Guidelines for Implementing and Using the NBS Data Encryption Standard" (Руководство по реализации и использованию Стандарта шифрования данных NBS), появилось в 1981 году [1142]. NBS также опубликовало FIPS PUB 112, специфицируя DES для шифрования паролей [1144], и FIPS PUB ИЗ, специфицируя DES для проверки подлинности компьютерных данных [1145]. (FIPS обозначает Federal Information Processing Standard.)

Эти стандарты были беспрецедентными. Никогда до этого оцененный NSA алгоритм не был опубликован. Возможно эта публикация была следствием непонимания, возникшего между NSA и NBS. NSA считало, что DES будет реализовываться только аппаратно. В стандарте требовалась именно аппаратная реализация, но NBS опубликовало достаточно информации, чтобы можно было создать и программную реализацию DES. Не для печати NSA охарактеризовало DES как одну из своих самых больших ошибок. Если бы Агентство предполаг а-ло, что раскрытые детали позволят писать программное обеспечение, оно никогда бы не согласилось на это. Для оживления криптоанализа DES сделал больше, чем что-либо другое. Теперь для исследования был доступен алгоритм, который NSA объявило безопасным. Не случайно следующий правительственный стандарт алгори т-ма, Skipjack (см. раздел 13.12.), был засекречен.

Дата добавления: 2014-11-29