Перпендикулярность прямой и плоскости

Следствия теоремы ортогональной проекции прямого угла.

Лекция 8. Метрические задачи.

Следствие 1. Если из двух взаимноперпендикулярных прямых, одна является горизонталью, то их горизонтальные проекции будут взаимноперпендикулярными (рисунок 8.1,а).

Следствие 2. Если из двух взаимноперпендикулярных прямых, одна является фронталью, то их фронтальные проекции будут взаимноперпендикулярными (рисунок 8.1,б).

Следствие 3. Если из двух взаимноперпендикулярных прямых, одна является профильной прямой, то их профильные проекции будут взаимноперпендикулярными.

Теорема. Для того, чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, необходимо и достаточно, чтобы горизонтальная проекция прямой была перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция - к фронтальной проекции фронтали этой плоскости.

Пример 8.1. Построить проекции прямой а, проходящей через точку А и перпендикулярной плоскости a (М, m).

Сначала построим какую-нибудь горизонталь и фронталь плоскости a. Для простоты горизонталь h и фронталь f плоскости a проведены через ее точку М. Искомая фронтальная проекция а ₁ прямой а проведена через точку А ₁ перпендикулярно прямой f ₁, а искомая горизонтальная проекция а ₂ прямой а проведена через точку А ₂ перпендикулярно h ₂.

Признаки взаимной перпендикулярности плоскостей. Плоскость a перпендикулярна плоскости b, если она проходит через прямую а, перпендикулярную плоскости b, или она перпендикулярна прямой b, лежащей в плоскости b.

Через фиксированную точку М в пространстве можно провести сколько угодно плоскостей a ¹, a ², …, перпендикулярных заданной плоскости b. Все эти плоскости проходят через перпендикуляр а, опущенный из точки М на плоскость b. Совокупность плоскостей a ¹, a ², …, проходящих через прямую а, образует пучок плоскостей. Для фиксирования одной из этих плоскостей нужно иметь еще одно дополнительное условие.

Пример8.2. Построить проекции плоскости b, проходящей через заданную прямую l (l ₁, l ₂) и перпендикулярную заданной плоскости a (h Ç f) (рисунок 8.3).

Возьмем произвольную точку А на прямой l. Из точки А опустим перпендикуляр а на плоскость a, т.е. А ₁Ì(а ₁)^ f ₁, А ₂Ì(а ₂)^ h ₂. Прямые а и l, которые пересекаются в точке А, определяют некоторую плоскость b. Плоскость b проходит через прямую а и перпендикулярна плоскости a.

Построение взаимноперпендикулярных прямых общего положения. Две прямые перпендикулярны в том и только в том случае, если через каждую из них можно провести плоскость, перпендикулярную другой прямой.

Пример 8.3. Через точку А провести прямую а, пересекающую заданную прямую l под прямым углом (рисунок 8.4). Через точку А проведем плоскость a перпендикулярно прямой l: А ₁Ì(f ₁)^ l ₁; А ₂Ì(h ₂)^ l ₂; А ₁Ì(h ₁)^ A ₁ A ₂; А ₂Ì(f ₂)^ A ₁ A ₂; a (h Ç f). Плоскость a определена горизонталью h и фронталью f. Любая прямая плоскости a перпендикулярна прямой l, но среди них существует лишь единственная прямая, пересекающая прямую l. Находим точку пересечения прямой l с плоскостью a. (К)= l Ç a. Прямая а, определяемая двумя точками А и К, проходит через точку А и перпендикулярна прямой l, так как а Ì a ^ l.

Определение длины отрезка прямой. Ортогональные проекции отрезка прямой общего положения всегда меньше длины самого отрезка (рисунок 8.5). Длину отрезка прямой АВ можно определить по двум его проекциям из прямоугольного треугольника А ₂ В ₂ А ₀, в котором одним катетом является горизонтальная проекция А₂В₂ отрезка, а другим катетом – разность координат его концов Dz, взятая из другой проекции. Гипотенуза А ₀ В ₂ прямоугольного треугольника есть длина отрезка. Угол a в этом треугольнике определяет угол наклона к плоскости П ₂. Длину отрезка прямой можно определить аналогичным образом, построив прямоугольный треугольник на фронтальной проекции отрезка. Угол b в этом треугольнике определяет наклон прямой к плоскости П ₁.

Способы преобразования чертежа. Построение новых проекций оригинала по данным его проекциям называется преобразованием чертежа. Различают два метода преобразования чертежа:

1. Преобразование чертежа изменением положения оригинала относительно основных плоскостей проекций П ₁, П ₂, П ₃.

2. Преобразование чертежа введением дополнительной плоскости проекций.

Основные задачи преобразования проекций.

Метод преобразования чертежа изменением положения оригинала относительно основных плоскостей проекций состоит в том, что оригинал перемещается относительно П ₁, П ₂, П ₃ и ставится в такое положение, которое удобно для решения конкретной задачи. В зависимости от вида движения, которому подвергается оригинал, различают:

а) способ плоскопараллельного перемещения;

б) способ вращения вокруг проецирующих осей;

в) способ вращения вокруг прямой уровня.

Способ плоскопараллельного перемещения.

Плоскопараллельным перемещением предмета называется такое его движение, при котором все точки предмета перемещаются в плоскостях, параллельных между собой. В плоскопараллельном перемещении относительно плоскости П ₁ все точки движущегося предмета перемещаются во фронтальных плоскостях уровня, в плоскопараллельном перемещении относительно плоскости П ₂ – в горизонтальных плоскостях уровня. Для того, чтобы построить проекции в конечном ее положении нужно знать инварианты преобразования чертежа. Инвариантами преобразования называются такие правила, позволяющие по проекциям данного положения предмета найти проекции его конечного положения. Инварианты плоскопараллельного перемещения относительно плоскости П₁:

1. Фронтальная проекция перемещающейся фигуры движется по плоскости П₁, оставаясь равной самой себе;

2. Горизонтальные проекции точек фигуры перемещаются по фронтальным прямым, перпендикулярным к вертикальным линиям связи.

Основные задачи, решаемые преобразованием чертежа.

Все задачи, решаемые преобразованием чертежа, сводятся к четырем основным задачам. Покажем решения этих четырех задач способом плоскопараллельного перемещения.

Задача 1. Сделать прямую общего положения прямой уровня. Если мы хотим прямую l сделать горизонталью, то ее следует подвергать плоскопараллельному перемещению относительно П ₁ (рисунок 8.6). Отметим две произвольные точки А и В прямой l. Вычерчиваем горизонтальную прямую и, отложив на ней отрезок А´ ₁ В´ ₁= А ₁ В ₁, примем ее за новую фронтальную проекцию l´ ₁ горизонтальной прямой l´. При этом горизонтальные проекции точек А и В остаются на горизонтальных прямых, проходящих через точки А ₂ и В ₂. По новым фронтальным проекциям А´ ₁ и В´ ₁ определяем их новые горизонтальные проекции А´ ₂ и В´ ₂. Если мы хотим прямую l сделать фронталью, то ее следует подвергать плоскопараллельному перемещению относительно П ₂.(рисунок 8.7).

В результате решения этой задачи мы нашли натуральную величину отрез ка АВ прямой l и углы ее наклона a и b к основным плоскостям проекций П ₁ и П ₂.

Задача 2. Сделать прямую уровня проецирующей прямой. Если дана горизонтальная прямая l ´(l ₁´, l ₂´), то проще всего сделать ее фронтально проецирующей прямой l ´´(рисунок 8.6). Для этого вычерчиваем вертикальную прямую и, отложив на ней отрезок А ₂″ В ₂″= А´ ₂ В´ ₂, примем ее за новую горизонтальную проекцию l ₂″ фронтально проецирующей прямой l ″. Новая фронтальная проекция l ₁″ вырождается в точку А ₁″≡ В ₁″≡ l ₁″.

Из фронтальной прямой проще всего сделать горизонтально проецирующую прямую (рисунок 8.7). Для этого сначала вычерчиваем новую фронтальную проекцию в виде вертикальной прямой, а затем – новую вырожденную в точку горизонтальную проекцию.

Задача 3. Привести плоскость общего положения в положение проецирующей плоскости. Если мы хотим сделать плоскость a (АВС) горизонтально проецирующей плоскостью, то ее следует подвергать плоскопараллельному перемещению относительно П ₁ (рисунок 8.8). Проводим произвольную фронталь f плоскости a и сделаем ее горизонтально проецирующей прямой f ´. Новая фронтальная проекция А´ ₁ В´ ₁ С´ ₁ треугольника АВС строится так, чтобы f ₁´ занимала вертикальное положение и . Находим новые горизонтальные проекции А ₂´, В ₂´, С ₂´, которые располагаются на одной прямой. В новом положении a ´ плоскость a стала горизонтально проецирующей.

Если мы хотим сделать плоскость a фронтально проецирующей плоскостью, то следует ее подвергать плоскопараллельному перемещению относительно плоскости П ₂ (рисунок 8.9).

Задача 4. Привести проецирующую плоскость в положение плоскости уровня. Если дана горизонтально проецирующая плоскость a ´, то следует ее сделать фронтальной плоскостью плоскопараллельным перемещением относительно плоскости П ₂ (рисунок 8.8). Для этого вычерчиваем горизонтальную прямую и на ней отмечаем точки А ₂″, В ₂″, С ₂″ так, чтобы А ₂″ В ₂″= А ₂´ В ₂´ и В ₂″ С ₂″= В ₂´ С ₂´.Проводим через точки А´ ₁, В´ ₁, С´ ₁ горизонтальные прямые, а через точки А ₂″, В ₂″, С ₂″ - вертикальные прямые. В пересечении прямых проведенных через проекции одноименных точек, получаем новые фронтальные проекции А ₁″, В ₁″, С ₁″. Если дана фронтально проецирующая плоскость , то следует ее сделать горизонтальной плоскостью плоскопараллельным перемещением относительно плоскости П ₁ (рисунок 8.9). В результате решения этой задачи мы получаем на чертеже натуральную величину треугольника АВС:

Основная литература: 1 осн.[27, 60-62 ], 2 осн. [40-56 ]

Дополнительная литература: 1 доп.[20-29].

Контрольные вопросы:

1. Какие задачи называются метрическими?

2. Сформулируйте теорему о прямоугольной проекции прямого угла.

3. Сформулируйте условие перпендикулярности прямой и плоскости.

4. Когда прямой угол проецируется без искажения на горизонтальную плоскость проекций?

5. Сформулируйте условие перпендикулярности двух плоскостей.

6. В чем сущность преобразования плоскопараллельным перемещением?

7. Перечислите основные четыре задачи, решаемые преобразованием.

Дата добавления: 2014-12-07