Аппроксимация и устойчивость разностной схемы. Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения

Разностная схема

Постановка задачи

Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения

y

1

D

0 1 x

с краевыми условиями

Будем считать, что правая часть дифференциального уравнения и функции , , , удовлетворяет условиям, обеспечивающим существование и единственность гладкого решения задачи (1) - (2).

Построим разностную схему - разностный аналог дифференциальной задачи (1) - (2).

Выполним следующие шаги:

1) Область непрерывного изменения аргументов заменим дискретным множеством точек – сеткой , Точки называются узлами сетки , и называются шагами сетки по оси и , соответственно. Узел сетки будем обозначать . Обозначим множество внутренних узлов сетки через и через - множество граничных узлов.

Сетку можно представить в виде

где , .

Замечание. При реализации метода сеток шагиобычно выбирают согласованно. Поэтому сетка и обозначена через .

2) Все функции в исходной дифференциальной задаче (1) – (2) заменим сеточными функциями - функциями, определенными в узлах сетки . Сеточную функцию обозначим через Проекцию функции на сетку обозначим через

3) Производные в исходной дифференциальной задаче (1) – (2) заменим разностными отношениями – сходящимися формулами численного дифференцирования:

В результате получим систему линейных алгебраических уравнений:

(3)

Система (3) называется разностной схемой - разностным (дискретным) аналогом дифференциальной задачи (1) – (2).

Для построения разностной схемы (3) используется пять точек – пяти-точечный шаблон:

Введем пространства сеточных функций и .

где

Теперь разностную схему (3) можно записать в виде операторного уравнения

где

Разностная схема (4) аппроксимирует исходную дифференциальную задачу (1) - (2) на ее решении если

при .

Разность называется невязкой.

Покажем, что невязка при .

Так как

то, заменяя здесь и соответствующими разложениями решения по формуле Тейлора в точке :

получаем

Следовательно, и разностная схема (4) обладает свойством аппроксимации.

Разностная схема (4) называется устойчивой, если для достаточно малых шагов сетки и выполнены условия:

1) Для любой сеточной функции уравнение имеет единственное решение (существует обратный оператор ).

2) Существует константа , независящая от ( и ), такая, что для решения уравнения имеет место неравенство

(норма обратного оператора равномерно по ограничена константой : ).

Замечание. Условие 2) определения устойчивости разностной схемы принято называть условием устойчивости.

Проверку устойчивости разностной схемы (4) разобьем на несколько этапов.

Предложение 1. Пусть сеточная функция определена на всей сетке и отлична от константы (не все координаты вектора равны одному и тому же числу). Пусть на множестве внутренних узлов сетки имеет место неравенство

Тогда сеточная функция принимает свое наибольшее значение в одном из граничных узлов сетки

Предложение 2. Пусть сеточная функция определена на всей сетке и отлична от константы. Пусть на множестве внутренних узлов сетки имеет место неравенство

Тогда сеточная функция принимает свое наименьшее значение в одном из граничных узлов сетки

Из Предложений 1 и 2 немедленно следует

Предложение 3. Если существуетсеточная функция определенная на всей сетке , такая, что на множестве внутренних узлов сетки имеет место равенство

то она достигает своего наибольшего и наименьшего значений на множестве граничных узлов

Отсюда немедленно получаем выполнение условия 1) определения устойчивости разностной схемы. Действительно из предложения 3 следует, что однородная разностная схема для всех имеет только нулевое решение для всех Таким образом, неоднородное уравнение имеет единственное решение для любой сеточной функции

Перейдем к доказательству условия устойчивости.

Заметим, что для любого многочлена второй степени

имеет место равенство

Положим

где

Введем оператор :

Имеем

Рассмотрим разность где - решение разностной схемы.

Очевидно, что

Так как для то из Предложения 1 следует, что сеточная функция достигает своего наибольшего значения в одном из граничных узлов и, следовательно, или во всех узлах сетки .

Теперь рассмотрим сеточную функцию . Применив к этой функции оператор , получим

Так как для то из Предложения 2 следует, что сеточная функция достигает своего наименьшего значения в одном из граничных узлов и, следовательно, или во всех узлах сетки .

Таким образом,

во всех узлах сетки . Следовательно,

и условие устойчивости для разностной схемы (4) выполняется с константой .

По теореме Филиппова из аппроксимации и устойчивости разностной схемы получаем ее сходимость:

при ,

здесь - решение разностной схемы (3) (или что тоже самое (4)), - точное решение исходной дифференциальной задачи (1) – (2).

Дата добавления: 2014-12-07