Поняття моделі та моделювання

Багатоваріантність та складність технологічних процесів на підприємствах легкої промисловості (приготування робочих розчинів та обробка шкір на шкіряних заводах, приготування полімерних композицій та переробка полімерів виробах на взуттєвих підприємствах, підприємствах штучних шкір та плівок, приготування рецептур клеїв) визначають методи побудову математичних моделей (ММ) та їх зміст.

В інженерній практиці моделі будуються з метою дослідження закономірностей, які є властиві об'єктам, що нас цікавлять (процесам, явищам). В загальному випадку модель встановлює якісні або кількісні співвідношення між окремими діями або комплексом дій, що визначають співвідношення досліджуваного об'єкта.

Під моделлю тут розуміється деякий об'єкт більш простої в порівнянні з оригіналом (досліджуваним об'єктом, окрім тих ознак та параметрів, вплив котрих повинен бути дослідженим та визначеним). За способом реалізації моделі поділяються на знакові та реальні. Знакові моделі є математичним описом процесу та визначаються у вигляді диференціальних, алгебраїчних рівнянь та інших математичних символів.

Реальні моделі пропонуються в вигляді фізичних об'єктів та поділяються на два види:

- фізичні моделі, що мають однакову фізичну природу з досліджуваним процесом. Результати досліджень на моделі переносяться на оригінал за допомогою методів теорії подібності;

- математичні моделі, що відрізняються за своєю природою від досліджуваного процесу, але мають зним тотожну знакову модель.

В відповідності з видом реальних моделей розрізняють моделювання фізичне та математичне. В основі фізичного моделювання є теорія подібності, що встановлює умови подібності моделі та оригінала, дозволяє узагальнювати результати експериментів в безрозмірних критеріях та розповсюджувати знайдені залежності на подібні системи. В фізичних моделях природа моделі та оригінала не змінюється, відтворюються всі сторони досліджуваного процесу, але реалізація фізичної моделі можлива, якщо в досліджуваного технологічного процесу або апарата може існувати подібна модель.

Під подібною прийнято приймати модель, що відрізняється від оригінала тільки масштабом вхідних величин, тобто тих, що мають однакову знакову модель в безрозмірній формі.

Теорії подібності присвячується багато робіт, але так як наведено в роботах, для багатьох процесів технологій легкої промисловості побудувати фізичну модель, подібну оригіналу, неможливо, або досить важко.

В останні роки все більше і більше застосування знаходить математичне моделювання, де відмова від однакової природи моделі та оригінала при збереженні тотожності знакової моделі розширює можливість моделювання. Математичне моделювання дозволяє складний експеримент замінити більш простим за допомогою засобів іншої фізичної природи. До цих засобів відносяться різні пристрої, що реалізують електричні аналогії (електротеплові, електрогідравлічні та інші), універсальні моделюючі пристрої (електронні обчислювальні машини).

При дослідженні будь-якого процесу методами математичного моделювання необхідно отримати його математичний опис або, як прийнято говорити, математичну модель.

В теорії математичного моделювання об'єкт дослідження зображається в вигляді "чорного ящика" (рис. 1.1), де відомі вхідні Хі...Хп - керовані фактори та Y_i...Y_n - вихідні параметри (характеристики цілей дослідження).

Рис. 1.1. Схема “чорного ящика”

Тоді математична модель будь-якого об'єкта дослідження буде представляти собою систему рівнянь виду:

(Y,Х,а)=0, (1.1)

де Х - вектор вхідних дій; Y - вектор вихідних змінних; а - вектор параметрів, що характеризують відсутність інформації про об'єкт.

Типових рекомендацій щодо вибору та побудов моделей не існує. Модель повинна відображати найбільш важливі сторони процесу, що досліджується. Другорядні явища, незначні фактори ускладнюють модель, ускладнюють аналітичні дослідження. Модель повинна бути досить простою, наглядною, але головне адекватною, тобто описувати закономірності об'єкта, що вивчається з необхідною точністю.

Вивчити об'єкт найбільш добре можна лише тоді, коли його модель представлена описом фізичної суті або має математичний вигляд. Наприклад, при вивчені процесів формування виробів з полімерних матеріалів необхідно знати закономірності їх деформування. Нерідко в якості моделі деформування використовується модель Кельвіна (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Модель Кельвіна.

На рис. 1.2, 1- пружина, що характеризує пружні властивості тіла, що підпорядковуються закону Гука: величина деформації прямо пропорційна навантаженню Р, що характерно для деформування твердих пружних тіл. В'язкі властивості тіла характеризуються рухом поршня 2 в заповненому в'язкою рідиною циліндрі. Деформація в цьому випадку йде повільно, розвивається за часом та підпорядковується закону Ньютона.

При паралельному з'єднанні двох розглянутих елементів отримаємо модель деформування пружно-в'язкого тіла. Математична модель, що відповідає фізичній моделі, може мати вигляд:

, (1.2)

де та - пружне стискання пружини та в'язкий опір рідини відповідно;

- модуль пружності та відносна деформація пружини; - коефіцієнт в'язкості; - швидкість деформування.

Розв'язуючи рівняння 1.2 при початкових умовах t =0, =0, отримаємо:

(1.3)

Отримана залежність у багатьох випадках добре узгоджується з експериментом та дозволяє дослідити закони деформування пружно-в'язких матеріалів, наприклад, полімерних матеріалів у в'язко-текучому стані.

Аналогічно доцільно будувати математичні моделі інших досліджуваних об'єктів. Математична модель може бути задана не тільки рівнянням або системою рівнянь, але й алгоритмом обчислення Y за відомим Xта а.

В залежності від виду досліджуваного об'єкта, режиму його роботи, впливу випадкових обурень до математичних моделей пред'являються різні вимоги, але загальна вимога, властива всім моделям, - адекватність моделі досліджуваного об'єкта. Адекватність визначається як різниця:

, (1.4)

де значення реакції об'єкта для фіксованого значення а та відомого х=х*, отримані шляхом підрахунків; - значення реакції об'єкта, отримане експериментальним шляхом при значенні вхідної дії х=х*; - величина, що характеризує допустиму помилку моделі.

Якщо адекватність математичної моделі лежить в межах 15-20%, то прийнято вважати, що таку модель можна використовувати для дослідження властивостей та поведінки досліджуваних об'єктів. Зменшуючи діапазон зміни X, можливо збільшувати точність математичної моделі.

Дата добавления: 2014-12-07