Интегральные уравнения. 1 страница

Васин А.В.

Продовження додатка Е

Марка сталі	S	σод	а	b	c
У12А	1,057	70,0	0,173	0,180	3,26
60С2ХА	0,946		0,139	0,115	3,84
ШХ15	1,01	79,6	0,137	0,22	4,07
В2Ф	0,95		0,135	0,119	3,99
15Х13	0,95		0,102	0,125	3,50
Х18Н10Т	0,825	217,8	0,112	0,088	4,35
40ХН2МА	0,966	92,7	0,125	0,175	3,4
Х23Н18	0,848		0,093	0,105	3,18
20Х13	0,9		0,132	0,210	3,26
15Х25Т	1,028	58,5	0,124	0,052	3,7
2Х23Н14Г	0,888		0,093	0,127	3,18
4Х8В2	0,73		0,083	0,181	3,86
Х17Н2	0,866		0,130	0,063	4,72
0Х18МТФ	0,934	56,5	0,172	0,067	3,64
35Х5МТСФ	0,947		0,127	0,103	3,99
1Х11Н2В2МФ	0,949		0,101	0,169	3,7
30Х2В8Ф	0,895		0,113	0,113	3,54
40ХН2МА	0,966	92,7	0,125	0,175	3,4
20ХГСНМ	1,05	81,1	0,085	0,253	3,8
12Х2Н4А	0,906		0,1	0,226	3,2
20Х1М1Ф1ТР	0,927		0,12	0,108	4,63
30Х5МВНФСА	0,836		0,124	0,150	3,70
1Х16Н4Б	1,023		0,106	0,139	3,95
10Х17Н13М2ТГ	0,906		0,072	0,173	2,31

Рекомендовано редакционно-издательским советом Санкт-Петербургского Государственного университета водных коммуникаций

Санкт-Петербург

2011 г.

УДК 517.7

ББК

Рецензенты

Кандидат физико-математических нау доцент Гулевич Н.М.

доктор технических наук, профессор Нырков А.П.

Васин А.В.

Интегральные уравнения: конпект лекций –СПб:СПБГУВК, 2011.-23 стр.

Учебно-методическое пособие содержит основной теоритический материал и конкретные примеры по дисциплине «Интегральные уравнения», и соответствует рабочим программам дисциплины, стандартам, указанной специальности, и может быть использовано при подготовке к экзамену студентами и преподавателями.

Предназначен для студентов четвертого курса (8-ой семестр) специальности 010501.65 «Прикладная математика и информатика».

УДК 517.7

ББК

Васин А.В, 2011

СПБГУВК, 2011

I. Интегральные уравнения Вольтерра

1. Основные понятия

Уравнение

где – известные функции, – искомая функция, – числовой параметр, называется линейным интегральным уравнением Вольтерра 2-го рода. Функция называется ядром уравнения Вольтерра. Если , то уравнение (1) принимает вид

и называется однородным уравнением Вольтерра 2-го рода.

Уравнение

где – искомая функция, называют интегральным уравнением Вольтерра 1-го рода. Не нарушая общности, можем считать нижний предел равным нулю, что мы и будем предполагать в дальнейшем.

Решением интегрального уравнения (1), (2) или (3) называют функцию , которая, будучи подставлена в это уравнение, обращает его в тождество (по ).

2. Связь между линейными дифференциальными уравнениями и интегральными уравнениями Вольтерра

Решение линейного дифференциального уравнения

с непрерывными коэффициентами ( при начальных условиях

может быть сведено к решению интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода.

Покажем это на примере дифференциального уравнения 2-го порядка

Полагаем

Отсюда, принимая во внимание начальные условия (2’), последовательно находим

При этом мы использовали формулу

Учитывая (3) и (4), дифференциальное уравнение (1’) запишем так:

или

Полагая

приведем (5) к виду

т.е. придем к интегральному уравнению Вольтерра 2-го рода.

Существование единственного решения уравнения (8) следует из существования и единственности решения задачи Коши (1’) - (2’) для линейного дифференциального уравнения с непрерывными коэффициентами в окрестности точки

И наоборот, решая интегральное уравнение (8) с и , определенными по формулам (6) и (7), и подставляя выражение, полученное для , в последнее из уравнений (4), мы получим единственное решение уравнения (1’), удовлетворяющее начальным условиям (2’).

Задача 1. Составить интегральное уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению

и начальным условиям

Решение. Полагаем

Тогда

Подставляя (9) и (10) в данное дифференциальное уравнение, найдем

или

II. Резольвента интегрального уравнения Вольтерра

1. Определение резольвенты

Пусть имеем интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода

где есть непрерывная функция при а непрерывна при .

Будем искать решение интегрального уравнения (1) в виде бесконечного степенного ряда по степеням :

Подставляя формально этот ряд в (1), получим

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , найдем

Соотношения (3) дают способ последовательного определения функций . Можно показать, что при сделанных предположениях относительно и полученный таким образом ряд (2) сходится равномерно по и при любом и и его сумма есть единственное решение уравнения (1).

Далее, из (3) следует:

где

Аналогично устанавливается, что вообще

Функции называются повторными или итерированными ядрами. Они, как нетрудно показать, определяются при помощи рекуррентных формул

Используя (4) и (5), равенство (2) можно записать так:

Функция , определяемая при помощи ряда

называется резольвентой (или разрешающим ядром) интегрального уравнения (1). Ряд (6) в случае непрерывного ядра сходится абсолютно равномерно.

Повторные ядра, а также резольвента не зависят от нижнего предела в интегральном уравнении.

Резольвента удовлетворяет следующему функциональному уравнению:

С помощью резольвенты решение интегрального уравнения (1) запишется в виде

2. Нахождение резольвенты

Задача 2. Найти резольвенту интегрального уравнения Вольтерра с ядром .

Решение. Имеем Далее, согласно формулам (5)

Таким образом, согласно определению

Соотношения (3) дают способ последовательного определения функций Можно показать, что при сделанных предположениях относительно полученный таким образом ряд (2) сходится равномерно по при любом и его сумма есть единственное решение уравнения (1).

Далее, из (3) следует:

где

Аналогично устанавливается, что вообще

Функции называются повторными или итерированными ядрами. Они, как нетрудно показать, определяются при помощи рекуррентных формул

Используя (4) и (5), равенство (2) можно записать так:

III. Уравнения Фредгольма

1. Основные понятия

Линейным интегральным уравнением Фредгольма 2-го рода называется уравнение вида

где – неизвестная функция, – известные функции, – действительные переменные, изменяющиеся в интервале – числовой множитель.

Функция называется ядром интегрального уравнения (1); предполагается, что ядро определено в квадрате на плоскости и непрерывно в , либо его разрывы таковы, что двойной интеграл

имеет конечное значение.

Если , то уравнение (1) называется неоднородным; если же , то уравнение (1) принимает вид

И называется однородным.

Интегральное уравнение вида

не содержащее искомой функции вне интеграла, называется интегральным уравнением Фредгольма 1-го рода.

Пределы интегрирования в уравнениях (1), (2) и (3) могут быть как конечными, так и бесконечными.

Решением интегральных уравнений (1), (2) и (3) называется любая функция при подстановке которой в уравнения последние обращается в тождества относительно

2. Итерированные ядра. Построение резольвенты с помощью итерированных ядер

Пусть имеем интегральное уравнение Фредгольма

Как и в случае уравнений Вольтерра, интегральное уравнение (1) можно решать методом последовательных приближений. Для этого полагаем

где определяются по формулам

Здесь

и вообще

, причем Функции определяемые по формулам (3), называются итерированными ядрами. Для них справедливо соотношение

где – любое натуральное число, меньшее

Резольвента интегрального уравнения (1) определяется через итерированные ядра формулой

где ряд, стоящий в правой части, называется рядом Неймана ядра . Он сходится для

где

Решение уравнения Фредгольма 2-го рода (1) выражается формулой

Граница (6) является существенной для сходимости ряда (5). Однако решение уравнения (1) может существовать и для значений .

Пример 1. Найти итерированные ядра для ядра , если

Решение. Пользуясь формулами (3), найдем последовательно:

Отсюда следует, что итерированные ядра имеют вид:

1) для n = 2k – 1

2) для n = 2k

Где k = 1,2,3,…

Пример 2. Найти итерированные ядра и , если

Решение. По определению имеем

Поэтому данное ядро можно записать в виде

Это ядро, как легко проверить, является симметричным, т.е.

Имеем Находим второе итерированное ядро:

Здесь

Так как данное ядро симметрично, то достаточно найти только при

Имеем (рис. 2)

В интервале имеем , поэтому

В интервале имеем , поэтому

В интервале имеем , поэтому

Складывая найденные интегралы, получим

Выражение для при мы найдем, если поменяем местами аргументы в выражении для :

Итак, второе итерированное ядро имеет вид

Замечание. Если ядро , задаваемое в квадрате разными аналитическими выражениями, не является симметричным, то следует отдельно рассмотреть случай . При будем иметь (рис. 3)

3. Интегральные уравнения с вырожденным ядром

Ядро интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода называется вырожденным, если оно является суммой конечного числа произведений функций только от на функции только от , т.е. если оно имеет вид

функции будем считать непрерывными в основном квадрате и линейно независимыми между собой. Интегральное уравнение с вырожденным ядром (1)

решается следующим образом.

Перепишем (2) в виде

и введем обозначения

Тогда (3) примет вид

где – неизвестная постоянная (так как функция неизвестна).

Таким образом, решение интегрального уравнения с вырожденным ядром сводится к нахождению постоянных Подставляя выражение (5) в интегральное уравнение (2), после несложных выкладок получим

В силу линейной независимости функций отсюда следует, что

или

Вводя для краткости записи обозначения

получим, что

или в развернутом виде:

Для нахождения неизвестных имеем линейную систему из алгебраических уравнений с неизвестными. Определитель этой системы равен

Если , то система (6) имеет единственное решение получаемое по формулам Крамера

Решением интегрального уравнения (2) будет функция , определенная равенством

Дата добавления: 2014-12-27