Логические основы построения ЭВМ

Кодирование чисел двоичным кодом

Исходные данные представляются обычно в привычных для человека десятичных числах. При программировании используется также и другая позиционная система счисления – шестнадцатеричная, дающая более компактное изображение чисел. Символами 16-ричной системы счисления являются 10 арабских цифр от 0 до 9 и 6 латинских букв: A = 10₁₀, B = 11₁₀, C = 12₁₀, D = 13₁₀, E = 14₁₀, F = 15₁₀, где нижний индекс показывает основание системы счисления, в которой записано данное число. Очевидно, что как для взаимного преобразования, так и обработки таких данных на ЭВМ необходима процедура кодирования.

Кодированием называется преобразование данных из одного алфавита в эквивалентный другой алфавит путём использования символов этого другого алфавита.

Целые десятичные числа кодируются числами системы счисления с основанием Р ¹ 10 путём последовательного деления десятичного числа на Р до тех пор, пока частное не окажется меньше Р. Остаток от i-го деления (i = 1, 2, …) при использовании символов Р-ичной системы счисления заносится в (i-1)-й разряд формируемого числа. Последнее частное образует старший (левый) разряд Р-ичного числа.

Дробная часть десятичных чисел представляется в системе счисления с основанием Р ¹ 10 путём последовательного умножения на Р. При этом целая часть j-го произведения (j = 1, 2, …) заносится в (-j)-й разряд дробной части Р-ичного числа, а оставшаяся дробная часть произведения вновь умножается на Р и т.д. Указанная процедура повторяется до тех пор, пока не будет обеспечено достаточное количество цифр Р-ичного числа или дробная часть не станет равной нулю.

Понятие веса разряда позволяет легко перейти от Р-ичных чисел к десятичным числам:

N₁₀ = a_m-1P^m-1 + a_m-2P^m-2 + … + a₁P¹ + a₀P⁰ + a_-1P^-1 + a_-2P^-2 + … + a_-sP^-s,

где а_i – значение i-го разряда целой (m-разрядной), а_-i – (-i)-го разряда дробной (s-разрядной) части числа.

Переход от двоичных чисел к 16-ричным производится по следующему правилу. Двоичное число, начиная с младших разрядов, разбивается на тетрады (четверки символов), каждая из которых записывается символами 16-ричной системы счисления. Если длина числа не кратна четырём, то оно дополняется старшими нулевыми разрядами. Переход от 16-ричных чисел к двоичным производится в обратном порядке.

Для анализа и синтеза (создания) цифровых систем используется математический аппарат алгебры логики. Алгебра логики – это раздел математической логики, все элементы (функции и аргументы) которой могут принимать только два значения: 0 и 1.

Функция, однозначно определяющая соответствие каждой совокупности значений аргументов нулю или единице, называется функцией алгебры логики (ФАЛ). ФАЛ представляет собой алгебраическое выражение, содержащее переменные-аргументы, связанные между собой логическими операциями. Любая ФАЛ состоит из одной или более элементарных ФАЛ. Элементарной называется ФАЛ одного или двух аргументов, в логическом выражении которой содержится не более одной логической операции. Старшей является операция инверсии, более младшей – операция конъюнкции, самой младшей – операции типа дизъюнкции.

Технически ФАЛ реализуются специальными электрическими схемами, называемыми логическими элементами. Логические элементы изготавливаются в виде интегральных микросхем, причем один корпус микросхемы содержит, как правило, несколько независимых однотипных логических элементов.

С целью упрощения устройств цифровых систем или применения в них однотипных логических элементов, соответствующие ФАЛ преобразовывают, используя при этом законы и тождества алгебры логики:

- сочетательный закон: aÙ(bÙс) = (аÙb) Ùс, аÚ(bÚс) = (аÚb)Úс,

а Å (b Å с) = (а Å b) Å с;

- переместительный закон: аÙb = bÙа, аÚb = bÚа, а Å b = b Å а;

- распределительный закон: аÙ(bÚс) = (аÙb)Ú(аÙс),

аÚ(bÙс) = (аÚb)Ù(аÚс), аÙ(bÅ с) = (аÙb)Å (аÙс);

- закон двойной инверсии: а = а;

- закон двойственности (правила де Моргана): аÚb = аÙb, аÙb = аÚb;

- закон поглощения: а Ú аÙс = а, aÙ(aÚc) = a;

- закон склеивания: аÙс Ú aÙc = a, (aÚс)Ù(aÚc) = a;

- тождества:

1) х Ú х = х, 4) х Ú х = 1, 7) х Ú 1 = 1, 10) х Ú 0 = х,

2) х Ù х = х, 5) х Ù х = 0, 8) х Ù 1 = х, 11) х Ù 0 = 0,

3) х Å х = 0, 6)х Å х = 1, 9) х Å 1 = х, 12) х Å 0 = х.

Здесь символ Ú обозначает операцию «дизъюнкция», символ Ù – операцию «конъюнкция», а символ Å – операцию «исключающее ИЛИ».

Дата добавления: 2014-12-27