Решение систем дифференциальных уравнений

Метод Эйлера для дифференциальных уравнений первого порядка

Решим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка методом Эйлера.

Пусть правая часть уравнения равна

Зададим границы изменения x:

Зададим число точек и величину шага:

Зададим начальные условия:

Вычислим x и y по формулам Эйлера

Представим результат графически и сравним его с аналитическим решением

Точное аналитическое решение и решение, полученное численно, отличаются в точке x=1 на

То есть относительная ошибка составляет

Для решения дифференциальных уравнений Mathcad имеет ряд встроенных функций, в частности, функцию rkfixed, реализующую метод Рунге–Кутты четвертого порядка с фиксированным шагом. Фактически эта функция предназначена для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка.

Функция rkfixed(y, x1, x2, npoints, D) возвращает матрицу. Первый столбец этой матрицы содержит точки, в которых получено решение, а остальные столбцы – решения и его первые производные.

Аргументы функции:

· y – вектор начальных значений (n элементов).

· x1 и x2 – границы интервала, на котором ищется решение дифференциального уравнения.

· npoints – число точек внутри интервала (x1,x2), в которых ищется решение. Функция rkfixed возвращает матрицу, состоящую из 1+npoints строк.

· D – вектор, состоящий из n элементов, который содержит первые производные искомой функции.

В качестве примера рассмотрим решение системы Вольтерры–Лотки. Эта система описывает динамику численности хищников и жертв на замкнутом ареале и является одной из базовых моделей экологии.

Для решения систем дифференциальных уравнений используются функция rkfixed.

Внимание! В этом примере установлено значение ORIGIN=1, то есть нумерация элементов массива начинается с 1, а не с 0, как это принято в Mathcad 'е по умолчанию.

Пусть в начальный момент времени число хищников и число жертв

Задаем вектор начальных значений

параметры системы

интервал времени и количество точек, в которых будет вычислено решение

и вектор правых частей системы. (Поскольку исходная система не зависит явно от времени t, функция D так же не зависит от времени явно хотя и содержит его в числе своих аргументов.)

Решаем систему с помощью встроенной функции

Представим на графике результаты расчета – зависимость численности популяций от времени

и зависимость числа жертв от числа хищников

Можно использовать обозначения или – это одно и то же.

Поскольку дифференциальное уравнение порядка выше первого может быть преобразовано к системе дифференциальных уравнений первого порядка, функция rkfixed может быть использована и для решения дифференциальных уравнений

5.1.3. Решение дифференциальных уравнений методом Рунге–Кутты

Решим еще раз задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка методом Рунге–Кутты.

Зададим границы изменения x:

Зададим число точек внутри интервала

Зададим начальные условия

Обратите внимание на обозначения! Поскольку мы решаем только одно дифференциальное уравнение первого порядка, а не систему дифференциальных уравнений, матрица y содержит только один элемент, однако запись y=1 была бы неправильной. Необходимо явно указывать на то, что величина y – матрица, то есть писать индекс.

Определим теперь матрицу производных. Эта матрица тоже состоит только из одного элемента. Этот элемент с точностью до обозначений совпадает с правой частью исходного дифференциального уравнения:

Решаем дифференциальное уравнение

Точное аналитическое решение и решение, полученное численно отличаются в точке на

Относительная ошибка составляет

Дата добавления: 2014-12-27