Методические рекомендации 10 страница

По этому поводу до сих пор ведутся оживленные дискуссии: приверженцы классического детерминизма, не отрицая возможности использования уравнений квантовой механики для практических расчетов, видят в учитываемой ими случайности результат нашего неполного понимания законов («внутренних механизмов»), управляющих пока непредсказуемым для нас поведением микрообъектов. Приверженцем такого подхода был А. Эйнштейн, сформулировавший свою позицию в знаменитом высказывании: «Я не могу предположить, чтобы господь Бог играл в кости». До настоящего времени не обнаружено никаких экспериментальных фактов, указывающих на существование внутренних механизмов, управляющих «случайным» поведением микрообъектов.

В квантовой механике отвергается постулируемая в классическом естествознании принципиальная возможность выполнения измерений и даже наблюдений объектов и происходящих с ними процессов, не влияющих на эволюцию изучаемой системы. Это приводит к существованию пар канонически сопряженных классических параметров, одновременное сколь угодно точное измерение которых оказывается невозможным (к ним относятся уже упоминавшаяся координата - импульс, время - энергия, и др.).

Законы классической физики получаются из квантовомеханических законов в пределе больших масс составляющих систему тел. При этом, например, даваемые соотношением неопределенности ограничения на точность оказываются малосущественными. Выходящий из имеющей две открытые двери комнаты человек, в принципе, «будет интерферировать» подобно электрону в опыте Юнга, из-за чего возникнут области в пространстве, где он не сможет появиться. Однако из-за большой массы человека размеры этих областей будут столь малы (реально много меньше размеров микрочастицы), что для реальных задач макроскопического описания указанное явление заведомо несущественно и даже не наблюдаемо.

3.5. Симметрия

Симметрия и законы сохранения. ô Принципы, организующие сходство. Принцип симметрии П. Кюри. ô Симметрия тела и симметрия среды. ô Роль симметрии в организации мира. ô Симметрия пространства и времени. Калибровочные симметрии.

Понятие симметрии хорошо знакомо и играет важную роль в повседневной жизни. Многим творениям человеческих рук умышленно придается симметричная форма, как из эстетических, так и практических соображений. Мяч симметричен, так как выглядит одинаково, как бы его ни поворачивали вокруг центра. Круглая печная труба сохраняет свой внешний вид при более ограниченном наборе вращений - поворотах вокруг вертикальной оси, проходящей через центр поперечного сечения.

В природе симметрия также встречается в изобилии. Снежинка обладает удивительнейшей гексагональной симметрией. Кристаллы также имеют характерные геометрические формы - вспомним хотя бы кубическую форму кристаллов соли, отражающую регулярность атомной структуры. Падающая дождевая капля имеет форму идеальной сферы и, замерзая, превращается в ледяной шарик - градину.

3.5.1. Симметрия и законы сохранения

Два вида симметрии с необычным упорством повторяются вокруг нас. Один отвечает зеркальной или билатеральной симметрии - «симметрии листка», другой соответствует радиально - лучевой симметрии.

Всё то, что растёт или движется по вертикали, то есть вверх или вниз относительно земной поверхности подчиняется радиально-лучевой симметрии в виде веера пересекающихся плоскостей симметрии. Всё то, что растёт и движется горизонтально или наклонно по отношению к земной поверхности подчиняется билатеральной симметрии - «симметрии листка» (одна плоскость симметрии), или так называемой зеркальной симметрии. Например, человеческое тело обладает (приближенно) зеркальной симметрией относительно вертикальной оси. В зеркале правая и левая руки и другие части тела меняются местами, но видимое нами зеркальное отражение узнаваемо. Многие архитектурные сооружения, например арки или соборы, обладают зеркальной симметрией.

Между геометрической симметрией и тем, что в физике принято называть законами сохранения, существует тесная связь. Законы сохранения говорят нам, что некоторые величины не изменяются со временем. В футболе число игроков на поле сохраняется. Игроки могут выходить на поле и уходить с поля, но общее число их остается постоянным. В физике существует закон, согласно которому в любой изолированной системе энергия, импульс и момент импульса должны сохраняться. Это не означает, что изолированная система не может изменяться, - просто любое изменение, происходящее в системе, должно быть таким, чтобы три названные величины оставались постоянными. В бильярде, где из-за гладкой текстуры поверхности бильярдного стола шары приближенно можно считать механически изолированными, законы сохранения энергии и импульса определяют направления движения и скорости шаров.

Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса вытекают непосредственно из законов движения Ньютона, но более поздняя формулировка этих законов, данная Лагранжем и Гамильтоном, позволила гораздо четче выявить их значение. Механика Лагранжа и Гамильтона обнажила глубокую и мощную связь между сохранением той или иной величины и соответствующей симметрией рассматриваемой системы. Например, если система симметрична относительно вращений, то из уравнений Гамильтона и Лагранжа следует, что сохраняется момент импульса.

Хорошей иллюстрацией к сказанному может служить сила тяготения Солнца. Хотя сферическое Солнце вращается вокруг своего центра, это никак не сказывается на движении Земли по орбите. Гравитационное поле Солнца симметрично и поэтому не изменяется при простом вращении. Этой геометрической симметрии соответствует физический результат: момент импульса планеты, движущейся по орбите, всегда постоянен. Этот факт был открыт еще в ХVII в. Кеплером, который, однако, не оценил его истинный смысл. Аналогичные соображения применимы к импульсу и энергии. Симметрии, соответствующие вращению или отражению, наглядны и радуют глаз, но они не исчерпывают весь запас симметрий, существующих в природе.

В физике частиц явления симметрии зачастую связаны не только с процессами отражения и вращения, а последние могут происходить не только в обычном пространстве (и времени), но и в абстрактных математических пространствах.

Симметричными могут быть отдельные частицы или их группы, а поскольку свойства частиц определяются их способностью участвовать во взаимодействиях, или процессах, все операции, позволяющие достичь симметрии, связаны здесь с «законами сохранения». Если какой-либо субатомный процесс характеризуется симметрией, можно с уверенностью утверждать, что в нём принимает участие некая константа (постоянная величина). Константы являются маленькими островками стабильности в сложном танце субатомной материи и могут помочь нам в описании взаимодействий частиц. Некоторые величины остаются константами, или «сохраняются», во всех взаимодействиях, некоторые - только в их части. В результате в каждом процессе принимает участие определенное количество констант. Поэтому симметричность частиц и их взаимодействий воплощается в законах сохранения. Физики используют обе эти формулировки, говоря то о симметрии процесса, то о соответствующем законе сохранения.

Существуют четыре основные разновидности законов сохранения, связанных с соответствующими типами симметрии:

1. Все взаимодействия частиц характеризуются симметричностью в отношении пространственных перемещений: в Лондоне они происходят точно таким же образом, как и в Нью-Йорке. Эта симметрия связана с сохранением импульса и означает, что суммарная величина импульса, принимающего участие в каком-либо взаимодействии неизменна.

2. Взаимодействия частиц обладают симметричностью и в отношении перемещений во времени, протекая во вторник точно так же, как и в четверг. Эта симметрия связана с сохранением энергии и означает, что суммарное количество энергии частиц, включающей их массы, остаётся постоянным до начала реакции и после ее завершения.

3. Третий основополагающий тип симметрии связан с расположением в пространстве. Смысл этой симметрии заключается в том, что направление движения частиц, принимающих участие во взаимодействии (скажем, вдоль оси север-юг или запад-восток), не оказывает никакого влияния на результаты взаимодействия. Как следствие этой закономерности, суммарное количество вращения не должно изменяться во время процесса.

4. Наконец, четвертым законом является закон сохранения электрического заряда. Он связан с более сложной операцией симметрии. Однако его формулировка в качестве закона сохранения предельно проста: суммарный электрический заряд, присущий всем участвующим в столкновении частицам, остается неизменным.

3.5.2. Принципы, организующие сходство

Основываясь на принципе Кюри, можно выделить три случая наложения симметрии среды на симметрию формирующегося в ней тела:

· Все элементы собственной симметрии тела совпадают с элементами симметрии среды. В этом случае все элементы собственной симметрии тела сохраняются, а его формы получают идеальное развитие. Это явление полнее всего реализуется в средах с симметрией шара. Именно так возникают формы идеально образованных кристаллов или некоторых организмов (радиолярии), развивающихся во взвешенном состоянии при условиях всестороннего и равномерного питания. При резко преобладающем влиянии среды её симметрия полностью отпечатывается на подчинённом ей объекте.

· Элементы собственной симметрии тела лишь частично совпадают с элементами симметрии среды. В этом случае получаются ложные, искажённые формы с вынужденной внешней симметрией, сохраняющей обычно лишь часть элементов собственной симметрии. Для особо податливых форм среда как бы навязывает свои элементы симметрии, чуждые собственной симметрии тела. Это особенно часто осуществляется в поле земного тяготения. Получающиеся в этом случае формы чаще всего отвечают двум формам внешней симметрии - радиально-лучевой и билатеральной. В окружающей нас природе эти два типа симметрии встречаются повсеместно, проявляясь особенно наглядно в формах растительного мира.

· Ни один из элементов собственной симметрии тела не совпадает с элементами симметрии среды. Зная симметрию среды и собственную симметрию тела, можно всегда определить вынужденную симметрию этого тела. Перечисленные три случая охватывают все возможные ситуации формирования природных тел. В третьем случае собственная симметрия тела вовсе не согласуется с симметрией среды. Здесь получаются асимметричные фигуры, более или менее приближающиеся к ложным формам второго случая в зависимости от степени отклонения элементов собственной симметрии от элементов симметрии среды.

Приведённая последовательность трёх возможных случаев сочетания элементов среды с элементами симметрии тела согласуется с общим ходом эволюции форм органического мира. Простейшие формы, развивавшиеся во взвешенном состоянии внутри однородной среды, обладают наиболее высокой симметрией, вплоть до симметрии шара. Далее появляются растения (формы, прикреплённые к земле) и получившие в связи с этим симметрию радиально-лучевого типа. Ещё позже возникают формы, перемещающиеся по земле в определённом направлении и сохранившие вследствие этого единственную плоскость симметрии. За исключением первого случая собственная симметрия тела предстает, как правило, в искажённом ущербном виде под маской ложных форм. Тем самым особая геометрия, свойственная самой природе тела, основательно «засекречивается»[37].

Исследуя математическое описание той или иной физической системы, физики открывают время от времени новые и неожиданные симметрии. Симметрии таинственно и тонко «запрятаны» в математическом аппарате и совсем не очевидны тому, кто наблюдает саму физическую систему. Манипулируя символами в уравнениях, физики пытаются раскрыть весь набор симметрий, в том числе и таких, которые не видны «невооруженным глазом».

Классический пример такого рода, возникший на рубеже нашего столетия, относится к законам электромагнитного поля. В своё время М. Фарадей и другие физики установили, что электричество и магнетизм тесно связаны между собой и что одно порождает другое. Действие электрических и магнитных сил удобнее всего было описать, пользуясь понятием поля - невидимого воздействия, создаваемого материей, простирающегося далеко в пространство и способного влиять на электрически заряженные частицы, электрические токи и магниты. Действие такого поля можно наблюдать, если попытаться сблизить два магнита: не соприкасаясь друг с другом, они будут отталкиваться или притягиваться.

Позднее, в 50-х годах ХIХ в., Дж. К. Максвелл, опираясь на эти факты, разработал теорию, связав электрическое и магнитное поля единой системой уравнений. Сначала Максвелл обнаружил, что эти уравнения «несбалансированны»: члены, относящиеся к электрическому и магнитному полям, входят в них не вполне симметрично. Чтобы придать уравнениям более красивый и симметричный вид, он ввел дополнительный член. Его можно было бы интерпретировать как не замеченный ранее эффект - порождение магнетизма переменным электрическим полем, но оказалось, что такой эффект действительно существует. Природа, очевидно, одобрила эстетический вкус Максвелла!

Введение дополнительного члена в уравнения Максвелла повлекло за собой чрезвычайно глубокие последствия:

· Во-первых, это позволило соединить электрическое и магнитное поля в единое электромагнитное поле. Уравнения Максвелла можно считать первой единой теорией поля, первым шагом на долгом пути к суперсиле. Они показали, что две силы природы, кажущиеся на первый взгляд различными, в действительности могут оказаться двумя различными проявлениями объединяющей их силы.

· Во-вторых, среди решений уравнения Максвелла обнаружились неожиданные, но весьма многообещающие. Выяснилось, что уравнениям Максвелла удовлетворяют различные синусоидальные функции (опять симметрия!), которые описывают периодические колебания, или волны. Эти электромагнитные волны, заключил Максвелл, самостоятельно распространяются в поле, то есть в том, что кажется пустым пространством. Из своих уравнений он вывел формулу, выражающую скорость электромагнитных волн через электрические и магнитные величины. Подставляя численные значения, Максвелл получил, что скорость электромагнитных волн составляет около 300 000 км/с, то есть, совпадает со скоростью света. Отсюда последовал неизбежный вывод: свет должен представлять собой электромагнитную волну. Он действительно может распространяться в пустом пространстве, именно поэтому мы, и видим Солнце.

Пойдя дальше, Максвелл предсказал также существование электромагнитных волн другой длины, и через несколько лет его предсказание подтвердилось: Генрих Герц открыл в лабораторных условиях радиоволны. Сегодня мы знаем, что гамма, рентгеновское, инфракрасное, ультрафиолетовое и СВЧ-излучения также представляют собой электромагнитные волны. Небольшая добавка, внесенная Максвеллом в уравнения (носящие ныне его имя) из соображений симметрии, дала большие результаты.

Это великолепный пример, наглядно демонстрирующий не только гигантские возможности математики в описании мира и расширении нашего знания о нем, но и роль симметрии и красоты как путеводного принципа.

3.5.3. Роль симметрии в организации мира

На рубеже ХХ в. А. Пуанкаре и Г. А. Лоренц исследовали математическую структуру уравнений Максвелла. Их особенно интересовали симметрии, скрытые в математических выражениях, - симметрии, которые тогда еще не были известны.

Оказалась, что знаменитый «дополнительный член», введенный Максвеллом в уравнения для восстановления равноправия электрического и магнитного полей, соответствует электромагнитному полю, обладающему богатой, но тонкой симметрией, выявляемой лишь при тщательном математическом анализе.

Симметрия Лоренца-Пуанкаре аналогична по своему духу таким геометрическим симметриям, как вращение и отражение, но отличается от них в одном важном отношении: никому до этого не приходило в голову физически смешивать пространство и время. Всегда считалось, что пространство - это пространство, а время - это время. То, что в симметрию Лоренца-Пуанкаре входят оба компонента этой пары, было странно и неожиданно.

По существу новую симметрию можно рассматривать наподобие вращения, но не только в одном пространстве. Это вращение затрагивает и время. Если к трем пространственным измерениям добавить одно временное, то получится четырехмерное пространство-время. Симметрия Лоренца-Пуанкаре - это своего рода вращение в пространстве-времени. В результате такого вращения часть пространственного интервала проектируется на время и наоборот. То, что уравнения Максвелла симметричны относительно операции, связывающей воедино пространство и время, наводит на размышления.

Понадобился гений Эйнштейна, чтобы полностью осознать все следствия такой симметрии. Пространство и время не существуют независимо друг от друга, они неразрывно связаны. Хитроумные «вращения» Лоренца и Пуанкаре - не просто абстрактная математика, они могут происходить в реальном мире, осуществляясь через движение. Ключ к причудливым пространственно-временным «проекциям», или преобразованиям, лежит в скорости света и других электромагнитных волн, и величина этой скорости также следует непосредственно из уравнений Максвелла.

Таким образом, существует глубокая взаимосвязь между распространением электромагнитных волн и структурой пространства и времени. Когда наблюдатель движется со скоростью, близкой к скорости света, пространство и время сильно изменяются, причем симметрично, и это отражено в математических соотношениях, полученных Лоренцем и Пуанкаре. Постижение столь тонкой и ранее не известной симметрии природы послужило толчком к созданию теории относительности Эйнштейна, а та в свою очередь ознаменовала рождение новой физики, потрясшей научный мир и изменившей лицо двадцатого столетия.

Урок, преподнесенный работами Лоренца и Пуанкаре, состоит в том, что математическое исследование симметрии, может стать источником выдающихся достижений в физике. Даже если заложенные в математическом описании симметрии трудно или невозможно представить наглядно, они могут указать путь к выявлению новых фундаментальных принципов природы. Поиск новых симметрий стал главным средством, помогающим физику в наши дни продвигаться к пониманию мира.

Все симметрии, о которых говорилось до сих пор, являются симметриями пространства или пространства-времени. Но представление о симметрии можно расширить, включив в него более абстрактные понятия. Как уже отмечалось, между симметрией и законами сохранения существует тесная связь. Один из наиболее твердо установленных законов сохранения - закон сохранения электрического заряда. Заряд может быть положительным и отрицательным, и закон сохранения заряда утверждает, что сумма положительного и отрицательного зарядов остается неизменной величиной. Если положительный заряд встречается с равным по абсолютной величине отрицательным зарядом, они нейтрализуют друг друга, создавая в сумме нулевой заряд. Аналогично положительный заряд может возникать, если одновременно возникает равный по абсолютной величине отрицательный заряд. Но возникновение или исчезновение результирующего заряда абсолютно исключено.

Но коль скоро электрический заряд сохраняется, естественно возникает вопрос о том, какова природа симметрии, связанной с этим законом сохранения. Тщетно стали бы мы искать геометрическую симметрию, лежащую в основе закона сохранения электрического заряда. Но в природе далеко не все симметрии имеют геометрический характер.

Рассмотрим, например, явление инфляции в экономике. Когда реальная стоимость доллара падает, падает и благосостояние лиц с фиксированным доходом. Но если чей-то доход следует индексу цен, то реальная покупательная способность этого лица не будет зависеть от стоимости доллара. Можно сказать, что доход, «привязанный» к уровню цен, симметричен относительно инфляционных процессов.

В физике также существует много симметрий негеометрического характера. Одна из них связана с работой, совершаемой при подъеме тела. Затрачиваемая энергия зависит от разности высот, которую требуется преодолеть при этом и не зависит от траектории подъема. Также энергия не зависит от абсолютной высоты: безразлично, измеряются высоты от уровня моря или от уровня суши, - важна только разность высот. Следовательно, существует симметрия относительно выбора начала отсчета высот.

Аналогичная симметрия существует и для электрических полей. Роль высоты в этом случае играет напряжение (электрический потенциал). Если электрический заряд движется в электрическом поле от одной точки к другой, то затрачиваемая энергия зависит только от разности потенциалов между конечной и начальной точками. Если к системе приложить дополнительное постоянное напряжение, то энергия, затрачиваемая на перемещение электрического заряда в поле, не изменится. Это еще одна скрытая симметрия уравнений Максвелла для электромагнитного поля.

Все три приведенных выше примера могут служить иллюстрациями того, что физики называют калибровочными симметриями. Все три указанные симметрии включают в себя «калибровку», то есть изменение масштаба, соответственно - денег, высоты и напряжения. Все три симметрии - абстрактные в том смысле, что они по своему характеру не геометрические. Мы не сможем, взглянув на соответствующие явления, увидеть симметрию. Однако все три скрытые симметрии являются важными характеристиками рассматриваемой системы. Именно калибровочная симметрия напряжений обеспечивает сохранение электрического заряда.

Следующий пример абстрактной симметрии демонстрирует сильное ядерное взаимодействие между протонами и нейтронами. Эксперименты показывают, что величина и другие свойства этого взаимодействия не зависят от того, о каких частицах идет речь - протонах или нейтронах. Действительно, протоны и нейтроны удивительно похожи друг на друга. Их массы отличаются всего лишь на 0,1%. У них одинаковые спины и на них одинаково действуют ядерные силы. Единственно, чем они отличаются, - это наличием у протона электрического заряда, но поскольку при ядерных взаимодействиях электрический заряд не имеет значения, он служит лишь меткой протона. Заряд позволяет распознавать протон и отличать его от нейтрона, но никак не сказывается на ядерном взаимодействии, связывающем протоны и нейтроны. Если протон лишить электрического заряда, то он утратит свою индивидуальность. Тесное сходство протона и нейтрона наводит на мысль, что здесь существует симметрия. Действительно, на ядерных процессах никак не отразится, если бы мы каким-то образом смогли заменить все протоны нейтронами и наоборот.

Как же на практике получается, что симметрия Вселенной скрыта от нас? Вообразим обыкновенный круглый таз, в котором находится бильярдный шар. Шар, помещенный в середине таза и предоставленный самому себе, скорее всего, скатится к стенке таза, туда, где дно ниже всего. Так что хоть сам таз обладает идеальной цилиндрической симметрией, но в целом общая конфигурация с шаром вне середины вовсе не симметрична. Мы привели пример, где под тазом нужно понимать природу вообще: даже если она подчиняется в высшей степени симметричным законам, это вовсе не значит, что она должна обязательно оказаться в симметричной конфигурации.

Однако если шар толкнуть как следует, то он начнет двигаться по всему тазу и почувствует его цилиндрическую форму. Такой толчок напоминает резкие столкновения, испытываемые частицами на наших ускорителях; на очень короткий промежуток времени вещество вновь обретает свою симметрию, и узнать об этом можно, выполняя серию очень тонких экспериментов.

ГЛАВА 4. КОНЦЕПЦИИ ДВИЖЕНИЯ,

Дата добавления: 2014-12-29