Формулы Крамера и метод обратной матрицы. Формулы Крамера применяются при решении системы n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля

Формулы Крамера применяются при решении системы n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля.

Решение системы линейных уравнений находится по формулам Крамера:

где | A | — определитель матрицы А, определённой нами выше, | A_j | — определитель, полученный из определителя | A | путем замены j -го столбца столбцом свободных членов.

Пример 2.9. Решить систему уравнений по правилу Крамера:

Х₁ + Х₂ + Х₃ + Х₄ = 10

Х₁ - Х₂ + Х₃ - Х₄ = -2

2Х₁ - 3Х₂ + 4Х₃ + Х₄ = 12

3Х₁ + 4Х₂ - 3Х₃ + 9Х₄ = 38

Решение. Вычислим определитель матрицы A:

.

Определитель , следовательно, система совместна и обладает единственным решением. Вычислим определители | A_j |, j = 1, …, 4:

Аналогично вычисляем определители | A ₂|, | A ₃|, | A ₄|: | A ₂| = -136, | A ₃| = -204, | A ₄| = -272. Решение системы имеет вид:

После нахождения решения целесообразно сделать проверку, подставив найденные значения в уравнения системы, и убедиться в том, что они обращаются в верные равенства.

Методом обратной матрицы решаются системы n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которых отличен от нуля. Решение матричного уравнения имеет вид: Х = А ^-1 В (получено из системы, записанной в матричной форме, определённой в пункте 2.3.1.).

Пример 2.10. Решить систему линейных уравнений матричным методом:

3Х₁ – Х₂ = 1

2Х₁ + Х₂ – 3Х₃ = -5

Х₁ + 2Х₂ + Х₃ = 8.

Решение. Представим данную систему в виде матричного уравнения:

.

Вычислим матрицу, обратную для матрицы А:

.

Найдем вектор неизвестных Х: .
Откуда получаем решение системы: Х ₁ = 1, Х ₂ = 2, Х ₃ = 3.

После нахождения решения целесообразно сделать проверку, подставив найденные значения в уравнения системы, и убедиться в том, что они обращаются в верные равенства.

Дата добавления: 2014-12-29