Числовые функции можно представлять наглядно на координатной плоскости

Понятие функции. Способы задания функций

ТЕМА 4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

Содержание

1. Понятие «функция». Способы задания функций.

2. Прямая и обратные пропорциональности.

Основная литература [1, 2, 7, 10, 11, 16, 23, 33, 34];

Дополнительная литература [10, 13, 14, 17, 18, 20, 50, 82, 86, 87]

Выполним два задания для младших школьников.

1) Увеличь каждое нечетное однозначное число в 2 раза.

2) Заполни таблицу.

Уменьшаемое
Вычитаемое
Разность

С какими математическими понятиями мы имеем дело, выполняя эти задания?

Прежде всего, в каждом задании есть два числовых множества, между которыми устанавливается соответствие. В первом - это множества {1, 3, 5, 7} и {2, 6, 10, 14}, а во втором - это множество значений вычитаемого {0, 1, 2, 3, 4, 5} и множество значений разности {5, 4, 3, 2, 1,0}. В чем сходство устанавливаемых между этими множествами соответствий? И в первом, и во втором задании каждому числу из первого множества сопоставляется единственное число из второго. В математике такие соответствия называют функциями. В общем виде понятие числовой функции определяют так:

Определение. Числовой функцией называется такое соответствие между числовым множеством Х и множеством R действи­тельных чисел, при котором каждому числу из множества Х со­поставляется единственное число из множества R.

Множество Х называют областью определения функции.

Функции принято обозначать буквами f, g, h и др. Если f - функция, заданная на множестве X, то действительное число у, соответствующее числу х из множества X, часто обозначают f (х) и пишут у = f (х). Переменную х при этом называют аргументом (или независимой пе­ременной) функции f. Множество чисел вида f (х) для всех х из множе­ства Х называют областью значений функции f.

В рассмотренном выше первом примере функция задана на множестве Х = {1, 3, 5, 7} - это ее область определения. А область значений этой функции есть множество {2, 6, 10, 14}.

Из определения функции вытекает, что для задания функции необходимо указать, во-первых, числовое множество X, т.е. область определения функции, и, во-вторых, правило, по которому каждому числу из множества Х соответствует единственное действительное число.

Часто функции задают с помощью формул, указывающих, как по данному значению аргумента найти соответствующее значение функ­ции.

Например, формулы у = 2х - 3, у = х², у = 3х, где х - действительное число, задают функции, поскольку каждому действительному значению х можно, производя указанные в формуле действия, поста­вить в соответствие единственное значение у.

Заметим, что с помощью одной и той же формулы можно задать как угодно много функций, которые будут отличаться друг от друга областью определения.

Например, функция у = 2х - 3, где х Î R, отлична от функции у = 2х - 3, где х Î N. Действительно, при х = -5 значение первой функции равно -13, а значение второй при х = -5 не определено.

Часто при задании функции с помощью формулы ее область определения не указывается. В таких случаях считают, что областью опреде­ления функции является область определения выражения f (х).

Например, если функция задана формулой у = 2х - 3, то ее областью определения считают множество R действительных чисел.

Если функция задана формулой , то ее область определения - есть множество R действительных чисел, исключая число 2 (если х = 2, то знаменатель данной дроби обращается в нуль).

Пусть у = f (х) функция с областью определения X. Тогда ее графиком является множество таких точек координатной плоскости, которые имеют абсциссу х и ординату f (х) для всех х из множества X.

Так, графиком функции у = 2х - 3, заданной на множествеR, является прямая (рис.1), а графиком функции у = х², заданной также на множествеR, - парабола (рис. 2).

Р

Рис. 1 Рис.2

Дата добавления: 2014-12-29