Пример 2.14

;

= .

Двоичные функции можно также задавать многочленами, в которых используются операции сложения, вычитания и умножения действительных чисел. Так, непосредственно проверкой убеждаемся, что

Поскольку каждую двоичную функцию можно задать своим многочленом Жегалкина, СДНФ или СКНФ, то, заменив все используемые в этих формулах операции на их выражения (по приведенным выше формулам) и, раскрыв затем скобки, получаем для всякой двоичной функции эквивалентную запись в виде некоторого действительного многочлена. Вместе с тем, можно заметить, что такая запись неоднозначна. Например, функцию можно представить действительными многочленами вида:

Перечисленные многочлены при и принимают значения 1 и 0 соответственно. Все многочлены в этом примере обладают той особенностью, что они содержат степени переменной , в то же время для двоичных переменных очевидны равенства:

Если отказаться от использования переменных в степенях выше первой, то неоднозначность представления двоичных функций можно исключить.

Теорема 2.15. Любая двоичная функция однозначно представляется в виде следующего действительного многочлена:

,

все коэффициенты которого являются целыми числами.

Доказательство. Полностью аналогично тому, которое было приведено в теореме 2.12. Необходимо только заменить операцию «» на «+».

Ниже, говоря «действительный многочлен», будем всюду иметь в виду определенный в теореме 2.15 многочлен .

Дата добавления: 2014-12-29