Изоморфизм алгебраических систем

В математике при изучении алгебраических систем их обычно классифицируют по темам и по свойствам. Так получаются классы полугрупп, групп, колец, полей, булевых алгебр и т.д. В каждом таком классе алгебраические системы изучаются с точностью до изоморфизма.

Определение 7.13. Алгебраические системы A, B одной и той же сигнатуры типа < n ₁, …, n_k; m ₁, …, m _l> называются изоморфными, если существует биективное отображение : A B, такое, что:

1) для любой операции и любых элементов A выполняется равенство: ;

2) для любого отношения и любых элементов A:

.

При этом само отображение называется изоморфизмом системы A на систему B.

Пример 7.14. Пусть B ₁ — булева алгебра всех подмножеств множества M = { a ₁, …, a_n }, B ₂ — булева алгебра всех делителей числа m = p ₁ p ₂ … p_n, где p ₁ p ₂ … p_n — различные простые числа. Определим отображение : B ₁ B _2, положив и . Легко видеть, что , ; , а также , , для любых подмножеств A, B множества M. Это и означает, что есть изоморфизм булевой алгебры B ₁ на булеву алгебру B ₂.

Замечание 7.15. Легко видеть, что отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на любом множестве алгебраических систем одной сигнатуры и потому все такие системы разбиваются на классы изоморфных систем. Из определения 7.13 видно, что изоморфные алгебраические системы сигнатуры с точки зрения свойств операций и отношений отличаются лишь обозначениями элементов. Отождествив в системах из определения 7.13 элементы a и (a), мы получим одну и ту же алгебраическую систему. Тем самым достигается существенная экономия сил и времени при изучении всего многообразия алгебраических систем.

Замечание 7.16. Понятие изоморфизма естественным образом распространяется на алгебраические системы различных, но однотипных сигнатур. При этом необходимо только предварительно установить между операциями (а также между отношениями) систем взаимно однозначное соответствие, сохраняющее арности. Так, если операции f_i соответствует операция , то условие 1 определения 7.13 запишется в виде:

.

В частности, если f_i — бинарная операция «», а f — бинарная «», то последнее равенство будет иметь вид:

.

Пример 7.17. Рассмотрим алгебры R⁺() и R(+), где R⁺ — множество всех положительных действительных чисел; R — множество всех действительных чисел. Положим , для любого x R⁺, где a — некоторое положительное число, a 1. Тогда условие 1 определения 7.13 гарантируется в этом случае известным свойством логарифмов: .

Замечание 7.18. Пример 7.17 показывает, что в некоторых случаях переход к изоморфной алгебре позволяет существенно упростить вычисления. В этом проявляется ещё одна положительная роль понятия изоморфизма.

Дата добавления: 2014-12-29